(课件网) 第2课时 等差数列前n项和的性质及应用 目录 典型例题·精研析 01 知能演练·扣课标 02 典型例题·精研析 01 课堂互动 关键能力提升 题型一 等差数列前 n 项和的性质 【例1】 （1）等差数列{ an }的前4项和是2，前8项和是10，则 S12＝ （ ） A. 12 B. 18 解析：由题意知，等差数列{ an }的前 n 项和为 Sn ，且 S4＝2， S8＝10.由等差数列的性质，得 S4， S8－ S4， S12－ S8成等差数列，即2，8， S12－10成等差数列，所以2＋（ S12－10）＝2×8，解得 S12＝24. C. 24 D. 42 （2）一个等差数列的前12项的和为354，前12项中偶数项的和与奇数 项的和之比为32∶27，则该数列的公差为（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 解析： 法一 设该等差数列的首项为 a1，公差为 d ，由题意可得 解得 d ＝5. 法二 记该等差数列的前12项中偶数项的和为 S偶，奇数项的和为 S奇. 由已知条件，得 解得又 S偶－ S奇＝6 d ，所以 d ＝ ＝5. 通性通法 等差数列前 n 项和的常用性质 （1）等差数列的依次 k 项之和， Sk ， S2 k － Sk ， S3 k － S2 k ，…组成公 差为 k2 d 的等差数列； （2）数列{ an }是等差数列 Sn ＝ pn2＋ qn （ p ， q 为常数） 数列 为等差数列（公差为{ an }公差的 倍）； （3）若 S奇表示奇数项的和， S偶表示偶数项的和，公差为 d ：①当项 数为偶数2 n 时， S偶－ S奇＝ nd ， ＝ ；②当项数为奇数2 n －1时， S奇－ S偶＝ an ， ＝ . 【跟踪训练】 1. 已知等差数列{ an }的前 n 项和为 Sn ，若 a1＝－10， － ＝1，则 S10＝ . 解析：在等差数列中，因为 a1＝－10， － ＝1，所以 ＝－ 10，所以{ }是以－10为首项，1为公差的等差数列，所以 ＝－ 10＋9×1＝－1， S10＝－10. －10 2. 已知数列{ an }是项数为偶数的等差数列，它的奇数项的和是50， 偶数项的和为34，若它的末项比首项小28，则该数列的公差是 . 解析：设等差数列{ an }的项数为2 m ，∵末项与首项的差为－28， ∴ a2 m － a1＝（2 m －1） d ＝－28①，∵ S奇＝50， S偶＝34，∴ S偶 － S奇＝34－50＝－16＝ md ②，由①②得 d ＝－4. － 4 3. 已知一个等差数列的前10项和为100，前100项和为10，求前110项 之和. 解：在等差数列中， S10， S20－ S10， S30－ S20，…， S100－ S90， S110 － S100成等差数列. 设其公差为 d ，则前10项和为10 S10＋ d ＝ S100＝10，解得 d ＝ －22， ∴ S110－ S100＝ S10＋（11－1） d ＝100＋10×（－22）＝－120， ∴ S110＝－120＋ S100＝－110. 题型二 等差数列前 n 项和的最值问题 【例2】 在等差数列{ an }中， a1＝25， S8＝ S18，求前 n 项和 Sn 的最 大值. 解：法一 因为 S8＝ S18， a1＝25， 所以8×25＋ d ＝18×25＋ d ， 解得 d ＝－2. 所以 Sn ＝25 n ＋ ×（－2）＝－ n2＋26 n ＝－（ n －13）2＋ 169.所以当 n ＝13时 ， Sn 有最大值为169. 法二 同法一，求出公差 d ＝－2. 所以 an ＝25＋（ n －1）×（－2）＝－2 n ＋27. 因为 a1＝25＞0， 由得 又因为 n ∈N*， 所以当 n ＝13时， Sn 有最大值为169. 通性通法 求等差数列前 n 项和的最值的方法 （1）二次函数法：即先求得 Sn 的表达式，然后配方.若对称轴恰好为 正整数，则就在该处取得最值；若对称轴不是正整数，则应在 离对称轴最近的正整数处取得最值，有时 n 的值有两个，有时可 能为1个； （2）不等式法：①当 a1＞0， d ＜0时，由 Sm 为最大值； ②当 a1＜0， d ＞0时，由 Sm 为最小值. 【跟踪训练】 （2024·中山月考）在等差数列{ an }中， a10＝18，前5项的和 S5＝－15. （1）求数列{ an }的通项公式； 解：（1）设等差数列的公差为 d ， 因为在等差数列{ an }中， a10 ... ...
