(课件网) 培优课 构造法求数列的通项公式 目录 典型例题·精研析 01 知能演练·扣课标 02 典型例题·精研析 01 课堂互动 关键能力提升 题型一 形如 an＋1＝ pan ＋ q （ p ， q ≠0且 p ≠1） 【例1】 在数列{ an }中， a1＝ ， an＋1＝ an ＋ ， n ∈N*，则 an ＝ . ×（ ） n＋2＋ 解析：因为 an＋1＝ an ＋ ，令 an＋1＋λ＝ （ an ＋λ），则 an＋1＝ an － λ，所以－ λ＝ ，解得λ＝－ ，所以 an＋1－ ＝ （ an － ），所以 ＝ ，因为 a1－ ＝ ，所以数列 an － 是首项为 ，公比为 的等比数列，所以 an － ＝ ×（ ） n－1＝ ×（ ） n＋ 2，所以 an ＝ ×（ ） n＋2＋ . 通性通法 求解递推公式形如 an＋1＝ pan ＋ q （ p ≠0， q ≠0且 p ≠1）的数列{ an }的通项公式的关键：一是利用待定系数法构造，即构造 an＋1＋λ＝ p （ an ＋λ）的形式；二是找到{ an ＋λ}为等比数列（其中 λ＝ ）. 【跟踪训练】 已知数列{ an }中， a1＝1， an＋1＝2 an ＋3，则 a10＝（ ） A. 2 045 B. 1 021 C. 1 027 D. 2 051 解析： ∵ an＋1＝2 an ＋3，可变形为 an＋1＋3＝2（ an ＋3），故数列 { an ＋3}为等比数列，首项为4，公比为2，∴ an ＋3＝4·2 n－1.∴ an ＝ 4·2 n－1－3＝2 n＋1－3，∴ a10＝2 045.故选A. 题型二 形如 an＋1＝ pan ＋ f （ n ）（ p ≠0） 角度1 f （ n ）为一次多项式 【例2】 在数列{ an }中， a1＝1， an＋1＝3 an ＋2 n ＋1，则数列{ an } 的通项公式为 . an ＝3 n － n －1 解析：设 an＋1＋ A （ n ＋1）＋ B ＝3（ an ＋ An ＋ B ），∴ an＋1＝3 an ＋ 2 An ＋2 B － A . 与原式比较系数得解得∴ an＋1 ＋（ n ＋1）＋1＝3（ an ＋ n ＋1）.令 bn ＝ an ＋ n ＋1，则 bn＋1＝3 bn 且 b1＝ a1＋1＋1＝3≠0，∴{ bn }是以3为首项，3为公比的等比数列， ∴ bn ＝3·3 n－1＝3 n ，∴ an ＝3 n － n －1. 通性通法 一般地，当 f （ n ）为一次多项式时，即数列的递推关系为 an＋1＝ Aan ＋ Bn ＋ C 型，可转化为 an＋1＋λ1（ n ＋1）＋λ2＝ A （ an ＋λ1 n ＋λ2）的形式来求通项公式. 角度2 f （ n ）为指数式 【例3】 已知数列{ an }中， a1＝6， an＋1＝2 an ＋3 n＋1，则 an ＝ . 解析：令 an＋1－ A ·3 n＋1＝2（ an － A ·3 n ），则 an＋1＝2 an ＋ ·3 n＋1，由 已知， ＝1，得 A ＝3，所以 an＋1－3×3 n＋1＝2（ an －3×3 n ），即 an ＋1－3 n＋2＝2（ an －3 n＋1），又 a1－32＝6－9＝－3≠0，所以{ an －3 n ＋1}是首项为－3，公比为2的等比数列，于是 an －3 n＋1＝－3×2 n－1， 故 an ＝3 n＋1－3×2 n－1. 3 n＋ 1－3×2 n－1 通性通法 形如 an＋1＝ pan ＋ qn＋1的递推关系求通项公式，一般可转化为 an＋ 1＋λ qn＋1＝ p （ an ＋λ qn ）的形式，构造出一个新的等比数列{ an ＋ λ qn }，然后再求 an . 【跟踪训练】 1. （2024·安阳月考）在数列{ an }中， a1＝2， a2＝3， an＋2＝2 an＋1－ an ，则{ an }的通项公式为 . 解析：设 an＋2－ x1 an＋1＝ x2（ an＋1－ x1 an ），结合已知可得 x1＝ x2 ＝1， a2－ a1＝3－2＝1≠0，于是{ an＋1－ an }是首项为1，公比为1 的等比数列，所以 an＋1－ an ＝1，所以{ an }是以2为首项，1为公差 的等差数列，所以 an ＝ n ＋1. an ＝ n ＋1 2. 在数列{ an }中， a1＝1， an＋1＝2 an －2 n ，则 a17＝ . 解析：由题意可得 ＝ － ，即 － ＝－ ，据此可得， 数列 是首项为 ＝ ，公差为－ 的等差数列，故 ＝ ＋ （17－1）×（－ ）＝－ ，所以 a17＝－15×216. －15×216 题型三 形如 an＋1＝ （ p ， q ， r ≠0） 【例4】 在数列{ bn }中 ... ...
