(课件网) 第2课时 等比数列前n项和的性质及应用 目录 基础知识·重落实 01 典型例题·精研析 02 知能演练·扣课标 03 基础知识·重落实 01 课前预习 必备知识梳理 类比等差数列前 n 项和的性质，你能得出等比数列{ an }前 n 项和 的哪些性质？ 【问题】 （1）当 Sm ≠0时， Sm ， S2 m － Sm ， S3 m － S2 m 也成等比数 列吗？ （2）若 Sm ， S2 m － Sm ， S3 m － S2 m 成等比数列，那么该数列的公比与 原等比数列{ an }的公比有什么关系？ 知识点 等比数列前 n 项和的性质 设等比数列{ an }的前 n 项和为 Sn ，公比为 q ，则： （1）当 Sm ≠0时， Sm ， S2 m － Sm ， S3 m － S2 m ，…仍组成等比数列 （公比为 qm ， m ≥2）； （2）当 n 是偶数时， ＝ q ；当 n 是奇数时， S奇＝ a1＋ qS偶，即 ＝ q ； （3）当 q ＝1时， ＝ ；当 q ≠±1时， ＝ ； （4） Sn＋ m ＝ Sm ＋ qmSn ＝ Sn ＋ qnSm . 1. 等比数列{ an }的前 m 项和为4，前2 m 项和为12，则它的前3 m 项和 是 . 解析：易知 Sm ＝4， S2 m － Sm ＝8，∴ S3 m － S2 m ＝16，∴ S3 m ＝12＋ 16＝28. 28 2. 等比数列{ an }共有2 n 项，其和为－240，且奇数项的和比偶数项的 和大80，则公比 q ＝ . 解析：由题意，得解得∴公比 q ＝ ＝ ＝2. 2 典型例题·精研析 02 课堂互动 关键能力提升 题型一 等比数列前 n 项和的性质 角度1 与“片段和”相关的性质 【例1】 （1）等比数列{ an }的前 n 项和为 Sn ， S2＝7， S6＝91，则 S4 ＝（ ） A. 28 B. 32 C. 21 D. 28或－21 解析：∵{ an }为等比数列，∴ S2， S4－ S2， S6－ S4也为等比数列，即7， S4－7，91－ S4成等比数列，∴（ S4－7）2＝7（91－ S4），解得 S4＝28或 S4＝－21.∵ S4＝ a1＋ a2＋ a3＋ a4＝ a1＋ a2＋ a1 q2＋ a2 q2＝（ a1＋ a2）（1＋ q2）＝ S2（1＋ q2）＞ S2，∴ S4＝28. （2）（2024·洛阳月考）设等比数列{ an }的前 n 项和为 Sn ，若 ＝ ，则 ＝（ ） A. B. C. D. 解析： ∵{ an }是等比数列，∴ S5， S10－ S5， S15－ S10也成等比数 列.∵ ＝ ，∴设 S5＝2 k （ k ≠0），则 S10＝ k ，∴ S10－ S5＝ － k ，∴ S15－ S10＝ ，∴ S15＝ ，∴ ＝ ＝ . 通性通法 等比数列{ an }“片段和”的性质 （1）正确理解等比数列“片段和”性质的含意，即当 q ≠－1时，连 续 m 项的和 Sm ， S2 m － Sm ， S3 m － S2 m （或 a1＋ a2＋…＋ am ， am ＋1＋ am＋2＋…＋ a2 m ， a2 m＋1＋ a2 m＋2＋…＋ a3 m ）成等比数列； （2）正确区分“片段和” Sm ， S2 m ， S3 m 所具有的性质与上述性质的 不同，即 ＋ ＝ Sm · S2 m ＋ Sm · S3 m . 角度2 与“奇、偶和”相关的性质 【例2】 一个项数为偶数的等比数列，全部项之和为偶数项之和的4 倍，前3项之积为64，求该等比数列的通项公式. 解：设数列为{ an }，首项为 a1，公比为 q ，全部奇数项、偶数项之和 分别记为 S奇， S偶，由题意，知 S奇＋ S偶＝4 S偶，即 S奇＝3 S偶. ∵数列{ an }的项数为偶数，∴ q ＝ ＝ . 又 a1· a1 q · a1 q2＝64，∴ · q3＝64，即 a1＝12. 故所求通项公式为 an ＝12× ， n ∈N*. 通性通法 灵活应用等比数列的项的个数的奇偶性质以及对应的奇数项与偶 数项的和与公比的关系解题，注意数列求和的关键是确定首项、公比 和项数. 【跟踪训练】 1. 设等比数列{ an }的前 n 项和为 Sn ，若 S3＝8， S6＝24，则 a10＋ a11＋ a12＝（ ） A. 32 B. 64 C. 72 D. 216 解析： 由于 S3， S6－ S3， S9－ S6， S12－ S9成等比数列， ... ...
