(课件网) 第2课时 导数的几何意义 目录 基础知识·重落实 01 典型例题·精研析 02 知能演练·扣课标 03 基础知识·重落实 01 课前预习 必备知识梳理 从物理学中我们知道，如果物体运动的轨迹是一条曲线，那么该 物体在每一个点处的瞬时速度的方向是与曲线相切的.例如，若物体 的运动轨迹如图所示，而且物体是顺次经过 A ， B 两点的，则物体在 A 点处的瞬时速度的方向与向量 v 的方向相同. 【问题】 如果设曲线的方程为 y ＝ f （ x ）， A （ x0， f （ x0）），那么曲线在点 A 处的切线的斜率是什么？ 知识点一 导数的几何意义 1. 切线的定义 如图，在曲线 y ＝ f （ x ）上任取一点 P （ x ， f （ x ）），如果当点 P （ x ， f （ x ））沿着曲线 y ＝ f （ x ）无限趋近于点 P0（ x0， f （ x0））时，割线 P0 P 无限趋近于一个确定的位置，这个确定位置的直线 P0 T 称为曲线 y ＝ f （ x ）在点 P0处的切线. 2. 导数的几何意义 函数 y ＝ f （ x ）在 x ＝ x0处的导数f'（ x0）就是切线 P0 T 的斜率 k0， 即 k0＝ ＝f'（ x0）. 【想一想】 若函数 y ＝ f （ x ）在点 x0处的导数存在，则曲线 y ＝ f （ x ）在点 P （ x0， f （ x0））处的切线方程是什么？ 提示：根据直线的点斜式方程，得切线方程为 y － f （ x0）＝f'（ x0） （ x － x0）. 知识点二 导函数（导数） 1. 定义：当 x 变化时， y ＝ 就是 x 的函数，我们称它为 y ＝ f （ x ）的导函数（简称导数）. 2. 记法： y ＝ f （ x ）的导函数记作f'（ x ）（有时也记作y'），即f' （ x ）＝y'＝ . f'（ x ） 提醒 函数 f （ x ）在 x ＝ x0处的导数f'（ x0）、导函数f'（ x ）之间 的区别与联系：①区别：（ⅰ）f'（ x0）是在 x ＝ x0处函数值的改变 量与自变量的改变量之比的极限，是一个常数，不是变量；（ⅱ）f' （ x ）是函数 f （ x ）的导函数，是对某一区间内任意 x 而言的；② 联系：函数 f （ x ）在 x ＝ x0处的导数f'（ x0）就是导函数f'（ x ）在 x ＝ x0处的函数值. 1. 判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”） （1）函数在 x ＝ x0处的导数f'（ x0）是一个常数. （ √ ） （2）函数 y ＝ f （ x ）在 x ＝ x0处的导数值就是曲线 y ＝ f （ x ）在 x ＝ x0处的切线的斜率. （ √ ） （3）直线与曲线相切，则直线与已知的曲线只有一个公共点. （ × ） √ √ × 2. （2024·平顶山月考）曲线 C ： y ＝ x2在 x ＝1处的切线方程为 . 解析：把 x ＝1代入 y ＝ x2得 y ＝12＝1，即切点 P （1，1），y'｜ x＝1 ＝ ＝ ＝ （Δ x ＋2）＝2，所以 k ＝ y'｜ x＝1＝2，所以曲线 y ＝ x2在 P （1，1）处的切线方程为 y －1＝2 （ x －1），即2 x － y －1＝0. 2 x － y －1＝0 3. 已知 y ＝ ，则y'＝ . 解析：∵Δ y ＝ － ，∴ ＝ ，∴ ＝ ＝ ＝ ＝ ，即y'＝ . 典型例题·精研析 02 课堂互动 关键能力提升 题型一 求切线的方程 【例1】 已知函数 y ＝ f （ x ）＝ x3. （1）求曲线 y ＝ f （ x ）在点（－1，－1）处的切线方程； 解：因为f'（ x ）＝ ＝ ＝ [3 x2＋3 x Δ x ＋（Δ x ） 2]＝3 x2，所以曲线 y ＝ f （ x ）在点（－1，－1）处的切线的斜率为 k ＝f'（－1）＝3，所以切线方程为 y ＋1＝3（ x ＋1），即3 x － y ＋2＝0. （2）求曲线 y ＝ f （ x ）过点 E （2，0）的切线方程. 解：设切点坐标为（ x0， ），则切线的斜率为 k ＝f'（ x0） ＝3 ，所以切线方程为 y － ＝3 （ x － x0）. 将点 E （2，0）的坐标代入切线方程，得－ ＝3 （2－ x0 ... ...
