(课件网) 5.3.1 函数的单调性 新课程标准解读 核心素养 1.结合实例，借助几何直观了解函数的单调性与导数的关系 数学抽象、 直观想象 2.能利用导数研究函数的单调性 逻辑推理、 数学运算 3.对于多项式函数，能求不超过三次的多项式函数的单调区间 数学运算 第1课时 导数与函数的单调性 目录 基础知识·重落实 01 典型例题·精研析 02 知能演练·扣课标 03 基础知识·重落实 01 课前预习 必备知识梳理 研究股票时，我们最关心的是股票的发展趋势（走高或走低）以及股票价格的变化范围（封顶或保底）.从股票走势曲线图来看，股票有升有降.在数学上，函数曲线也有升有降，就是我们常说的单调性. 【问题】 函数的单调性与导数有什么关系？ 知识点一 函数的单调性与导数的关系 定义在区间（ a ， b ）内的函数 y ＝ f （ x ）： f'（ x ）的正负 f （ x ）的单调性 f'（ x ）＞0 单调递 f'（ x ）＜0 单调递 提醒 若在某区间内有有限个点使f'（ x ）＝0，在其余的点恒有f' （ x ）＞0（＜0），则 f （ x ）在该区间上单调递增（递减）. 增 减 知识点二 函数值变化快慢与导数的关系 设函数 y ＝ f （ x ），在区间（ a ， b ）上： 导数的绝对值 函数值变化 函数的图象 越大 快 比较“ ”（向上或向下） 越小 慢 比较“ ”（向上或向下） 陡峭 平缓 1. 判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”） （1）函数 f （ x ）在定义域上都有f'（ x ）＜0，则函数 f （ x ）在定 义域上是减函数. （ × ） （2）函数 f （ x ）在某区间内单调递增，则一定有f'（ x ）＞0. （ × ） （3）函数在某个区间上变化越快，函数在这个区间上的导数的绝 对值越大. （ √ ） × × √ 2. 函数 f （ x ）＝ln x － x 的单调递增区间是（ ） A. （0，1） B. （0，＋∞） C. （1，2） D. （2，＋∞） 解析： f'（ x ）＝ －1，令f'（ x ）＞0，又 x ＞0，∴0＜ x ＜1， 则 f （ x ）的单调递增区间是（0，1）. 3. 函数 f （ x ）＝ cos x － x 在（0，π）上的单调性是（ ） A. 先增后减 B. 先减后增 C. 单调递增 D. 单调递减 解析： 易知f'（ x ）＝－ sin x －1， x ∈（0，π），∴f'（ x ）＜ 0，则 f （ x ）＝ cos x － x 在（0，π）上单调递减. 典型例题·精研析 02 课堂互动 关键能力提升 题型一 函数的单调性与导数的关系 【例1】 （1）下列函数中，在（1，＋∞）上单调递增的是 （ ） A. y ＝ x3－3 x B. y ＝ln x － x C. y ＝ x ＋ D. y ＝ x2－3 x ＋1 解析：由 y ＝ x3－3 x 可得y'＝3 x2－3，当 x ∈（1，＋∞）时，y'＞0， y ＝ x3－3 x 单调递增，故A满足题意；由 y ＝ln x － x 可得y'＝ －1，当 x ∈（1，＋∞）时，y'＜0， y ＝ln x － x 单调递减，故B不满足题意；易知 y ＝ x ＋ 在（1，2）上单调递减，在（2，＋∞）上单调递增，故C不满足题意；易知 y ＝ x2－3 x ＋1在（1， ）上单调递减，在（ ，＋∞）上单调递增，故D不满足题意，故选A. （2）（2024·枣庄月考）函数 y ＝ x ln x 在（0，5）上的单调性是 （ ） A. 单调递增 B. 单调递减 C. 在（0， ）上单调递减，在（ ，5）上单调递增 D. 在（0， ）上单调递增，在（ ，5）上单调递减 解析： 由已知得函数 y ＝ x ln x 的定义域为（0，＋∞）.y'＝ln x ＋ 1，令y'＞0，得 x ＞ ；令y'＜0，得0＜ x ＜ .∴函数 y ＝ x ln x 在 （0， ）上单调递减，在（ ，5）上单调递增. 通性通法 利用导数判断函数的单调性的策略 利用导数证明或判断一个可导函数在给定区间内的单调性，实质 上就是判断f'（ x ）的正负或证明不等式f'（ x ）≥ ... ...
