(课件网) 第2课时 函数单调性的应用 目录 典型例题·精研析 01 知能演练·扣课标 02 典型例题·精研析 01 课堂互动 关键能力提升 题型一 含参数函数的单调性 【例1】 讨论函数 f （ x ）＝ ax2＋ x －（ a ＋1）ln x （ a ≥0）的单 调性. 解：函数 f （ x ）的定义域为（0，＋∞）， f'（ x ）＝ ax ＋1－ ＝ . ①当 a ＝0时，f'（ x ）＝ ， 由f'（ x ）＞0，得 x ＞1，由f'（ x ）＜0，得0＜ x ＜1. ∴ f （ x ）在（0，1）内单调递减，在（1，＋∞）内单调递增. ②当 a ＞0时，f'（ x ）＝ ， ∵ a ＞0，∴ ＞0. 由f'（ x ）＞0，得 x ＞1，由f'（ x ）＜0，得0＜ x ＜1. ∴ f （ x ）在（0，1）内单调递减，在（1，＋∞）内单调递增. 综上所述，当 a ≥0时， f （ x ）在（0，1）内单调递减，在（1，＋ ∞）内单调递增. 通性通法 讨论含参函数的单调性的关键点 （1）涉及含参数的函数的单调性问题，一定要判断参数对导数f' （ x ）在某一个区间内的正负是否有影响.若有影响，则必须分 类讨论，讨论时要做到不重不漏，最后进行总结； （2）求含参函数 y ＝ f （ x ）的单调区间，实质上就是解含参数的不 等式f'（ x ）＞0，f'（ x ）＜0. 【跟踪训练】 设函数 f （ x ）＝e x － ax －2（ a ∈R），求 f （ x ）的单调区间. 解： f （ x ）的定义域为（－∞，＋∞），f'（ x ）＝e x － a . 若 a ≤0，则f'（ x ）＞0， 所以 f （ x ）在（－∞，＋∞）上是增函数. 若 a ＞0，则当 x ∈（－∞，ln a ）时，f'（ x ）＜0； 当 x ∈（ln a ，＋∞）时，f'（ x ）＞0. 所以 f （ x ）在（－∞，ln a ）上单调递减，在（ln a ，＋∞）上单调递增. 综上所述，当 a ≤0时，函数 f （ x ）在（－∞，＋∞）上是增函 数； 当 a ＞0时， f （ x ）的单调递减区间为（－∞，ln a ）， 单调递增区间为（ln a ，＋∞）. 题型二 根据函数的单调性求参数 【例2】 已知函数 f （ x ）＝ x3－ ax －1为R上的增函数，求实数 a 的 取值范围. 解：由已知得f'（ x ）＝3 x2－ a ， 因为 f （ x ）在（－∞，＋∞）上是增函数， 所以f'（ x ）＝3 x2－ a ≥0在（－∞，＋∞）上恒成立， 即 a ≤3 x2对 x ∈R恒成立，因为3 x2≥0，所以只需 a ≤0. 又因为 a ＝0时，f'（ x ）＝3 x2≥0， f （ x ）＝ x3－1在R上是增函数， 所以 a ≤0.即 a 的取值范围为（－∞，0]. 【母题探究】 1. （变条件）若函数 f （ x ）＝ x3－ ax －1在（－1，1）上单调递减， 求 a 的取值范围. 解：由题意可知f'（ x ）＝3 x2－ a ≤0在（－1，1）上恒成立，所以 即 所以 a ≥3. 即 a 的取值范围是[3，＋∞）. 2. （变条件）若函数 f （ x ）＝ x3－ ax －1的单调递减区间为（－1， 1），求 a 的值. 解：f'（ x ）＝3 x2－ a ，①当 a ≤0时，f'（ x ）≥0， 所以 f （ x ）在（－∞，＋∞）上为增函数，不满足题意. ②当 a ＞0时，令3 x2－ a ＝0，得 x ＝± ， 当－ ＜ x ＜ 时，f'（ x ）＜0. 所以 f （ x ）在（－ ， ）上单调递减， 所以 f （ x ）的单调递减区间为（－ ， ）， 所以 ＝1，即 a ＝3. 通性通法 由函数的单调性求参数的技巧 （1）转化为导数不等式恒成立问题：若 f （ x ）在区间上单调递增 （减），则f'（ x ）≥（≤）0恒成立，可以利用分离参数法或函 数性质求参数，注意检验参数取“＝”时是否满足题意； （2）若 f （ x ）在区间上不是单调函数，则解法通常有以下两种： ①转化为单调函数求参数，再求其补集； ②转化为函数的导函数有变号的零点，再求参数. 【跟踪训练】 1. （2024·青岛月考）若函数 f （ x ）＝ ax －ln x 在[1，2]上单调递 增，则 a 的取值范围是（ ） A ... ...
