(课件网) 第3课时 利用导数解决与函数有关的问题 目录 典型例题·精研析 01 知能演练·扣课标 02 典型例题·精研析 01 课堂互动 关键能力提升 题型一 利用导数画函数的大致图象 【例1】 已知 f （ x ）＝（ a － x ＋1）e x ，其中 a ＞0，试画出函数 f （ x ）的大致图象. 解：∵ f （ x ）＝（ a － x ＋1）e x ，∴f'（ x ）＝（ a － x ）e x ， 则当 x ＜ a 时，f'（ x ）＞0， f （ x ）在（－∞， a ）上 单调递增； 当 x ＞ a 时，f'（ x ）＜0， f （ x ）在（ a ，＋∞）上单 调递减，所以 f （ x ）在 x ＝ a 处取得最大值 f （ a ）＝e a ， 且当 x →＋∞时， f （ x ）→－∞，当 x →－∞时， f （ x ） →0，则 f （ x ）＝（ a － x ＋1）e x 的大致图象如图所示. 通性通法 利用导数画函数大致图象的步骤 （1）确定函数的定义域； （2）利用导数确定函数的单调性与极值； （3）确定 f （ x ）的图象经过一些特殊点，以及图象的变化趋势； （4）画出 f （ x ）的大致图象. 【跟踪训练】 试画出函数 f （ x ）＝ 的图象. 解：∵ f （ x ）＝ ， ∴f'（ x ）＝ （ x ＞0）， 令 g （ x ）＝1＋ －ln x ， 则g'（ x ）＝－ － ＝－ ＜0， ∴ g （ x ）在（0，＋∞）上是减函数， 又 g （e）＝ ＞0， g （e2）＝1＋ －ln e2＝ －1＜0， ∴存在 x0∈（e，e2），使得 g （ x0）＝0， ∴当 x ∈（0， x0）时， g （ x ）＞0，f'（ x ）＞0， f （ x ）单调递增， 当 x ∈（ x0，＋∞）时， g （ x ）＜0，f'（ x ）＜0， f （ x ）单调递减， 且当 x →0时， f （ x ）→－∞，当 x →＋∞时， f （ x ） →0，故 f （ x ）的图象如图所示. 题型二 利用导数研究函数的零点与方程的根 【例2】 判断函数 f （ x ）＝e x （ x2－2 x ＋1）－ x 的零点个数. 解：由 f （ x ）＝0，得 x2－2 x ＋1＝ . 令 g （ x ）＝ ，则函数 f （ x ）＝e x （ x2－2 x ＋ 1）－ x 的零点等价于函数 y ＝ x2－2 x ＋1与 y ＝ g （ x ）图象的交点， g'（ x ）＝ ，令g'（ x ）＞0，得 x ＜1， 令g'（ x ）＜0，得 x ＞1， 所以 g （ x ）在（－∞，1）上单调递增， 在（1，＋∞）上单调递减， 所以 g （ x ）max＝ g （1）＝ ， 又 g （0）＝0， 作出函数 y ＝ x2－2 x ＋1＝（ x －1）2与 y ＝ g （ x ） 的图象，如图所示，数形结合可得函数 f （ x ）有2个零点. 通性通法 利用导数确定函数零点或方程根的个数的方法 （1）数形结合：将函数的零点或方程的根转化为两函数图象的交 点，利用导数画出函数的大致图象，进而得到函数零点的个 数； （2）利用零点存在定理：先用该定理判断函数在某区间上有零点， 然后利用导数研究函数的单调性、极值和区间端点处的函数值 的符号，进而判断函数在该区间上的零点个数. 【跟踪训练】 （2024·郑州月考）若函数 f （ x ）＝ ax3－ bx ＋4，当 x ＝2时，函数 f （ x ）取得极值－ . （1）求函数 f （ x ）的解析式； 解：f'（ x ）＝3 ax2－ b ，由题意得 解得经检验满足题意，所以 f （ x ）＝ x3－4 x ＋4. （2）若方程 f （ x ）＝ k 有3个不同的实数根，求实数 k 的取值范围. 解：由（1）可得f'（ x ）＝ x2－4＝（ x －2）（ x ＋2）. 令f'（ x ）＝0，得 x ＝2或 x ＝－2. 所以当 x ＜－2或 x ＞2时，f'（ x ）＞0； 当－2＜ x ＜2时，f'（ x ）＜0. 所以当 x ＝－2时， f （ x ）取得极大值 ， 当 x ＝2时， f （ x ）取得极小值－ . 函数 f （ x ）＝ x3－4 x ＋4的大致图象如图所示. 要使方程 f （ x ）＝ k 有3个不同的实数根，由图可知，实数 k 的取值范围是（－ ， ）. 题型三 生活中的优化问题 【例3】 （2024·宁 ... ...
