第六章 培优课　二项式定理的综合应用（课件 学案 练习）高中数学人教A版（2019）选择性必修 第三册

培优课　二项式定理的综合应用 1.在x（1＋x）6的展开式中，含x3项的系数为（　　） A.30 B.20 C.15 D.10 2.（x3－2x2＋x）3的展开式中x6的系数为（　　） A.－1 B.1 C.－20 D.20 3.9192被100除所得的余数为（　　） A.1 B.81 C.－81 D.992 4.在（1＋x）5＋（1＋x）6＋（1＋x）7的展开式中，x4的系数是首项为－2，公差为3的等差数列的（　　） A.第11项 B.第13项 C.第18项 D.第20项 5.（＋x）（1－）4的展开式中x的系数是（　　） A.1 B.2 C.3 D.12 6.（多选）对于二项式（＋）n（＋x3）n（n∈N*），以下判断正确的有（　　） A.存在n∈N*，使展开式中有常数项 B.对任意n∈N*，展开式中没有常数项 C.对任意n∈N*，展开式中没有x的一次项 D.存在n∈N*，使展开式中有x的一次项 7.（＋＋）5（x＞0）的展开式中的常数项为　　　　.　 8.设（1＋x＋x2）n＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a2nx2n，则a0＋a2＋a4＋…＋a2n＝　　　　. 9.若（x2－a）（x＋）10的展开式中x6的系数为30，则a＝　　　　. 10.设的小数部分为x，则x4＋16x3＋96x2＋256x＝　　　　. 11.求证：32n＋2－8n－9（n∈N*）能被64整除. 12.已知（ax2＋）n的展开式中所有项的二项式系数和为128，各项系数和为－1. （1）求n和a的值； （2）求（2x－1）（ax2＋）n的展开式中的常数项. 13.当n∈N，且n＞1时，求证：2＜（1＋）n＜3. 培优课　二项式定理的综合应用 1.C　因为（1＋x）6的展开式的通项为Tk＋1＝xk，所以x（1＋x）6的展开式中含x3的项为x3＝15x3，所以含x3项的系数为15. 2.C　（x3－2x2＋x）3＝x3（x－1）6，因此所求x6的系数即为（x－1）6的展开式中x3的系数，由二项式定理知系数为（－1）3＝－20. 3.B　9192＝（90＋1）92＝×9092＋×9091＋…＋×902＋×90＋.前91项均能被100整除，剩下两项为92×90＋1＝8 281，显然8 281除以100所得的余数为81.故9192被100除所得的余数为81. 4.D　（1＋x）5＋（1＋x）6＋（1＋x）7的展开式中，x4的系数为＋＋＝＋＋＝55，以－2为首项，3为公差的等差数列的通项公式为an＝－2＋3（n－1）＝3n－5，令an＝55，即3n－5＝55，解得n＝20. 5.C　根据题意，所给式子的展开式中含x的项，由（1－）4展开式中的常数项乘（＋x）中的x以及（1－）4展开式中的含x2的项乘（＋x）中的两部分合并而成，所以所求系数为1＋1×2＝3. 6.AD　（＋）n的展开式的通项为Tr＋1＝·3r·，r＝0，1，2，…，n，（＋x3）n的展开式的通项为Tk＋1＝·x4k－n，k＝0，1，2，…，n.则二项式（＋）n（＋x3）n（n∈N*）的展开式的通项为·3r···x4k－n，未知数x的次数为＋4k－n＝－－＋4k，令－－＋4k＝0，即3r＋n＝8k，r＝1，k＝1，n＝5是其中一组解，此时，·3r···x4k－n＝×3×＝75，故展开式中有常数项，且常数项的系数不为0，故A正确，B错误；令－－＋4k＝1，即3r＋n＋2＝8k，r＝0，k＝1，n＝6是其中一组解，此时，·3r···x4k－n＝×30×x3××x－2＝6x，故展开式中有x的一次项，且一次项的系数不为0，故D正确，C错误. 7.　解析：（＋＋）5（x＞0）可化为（＋）10，因而Tr＋1＝·（）10－r·（）10－2r，令10－2r＝0，得r＝5，故展开式中的常数项为·（）5＝. 8.　解析：令x＝1，得3n＝a0＋a1＋a2＋…＋a2n－1＋a2n　①.令x＝－1，得1＝a0－a1＋a2－…－a2n－1＋a2n　②.①＋②得3n＋1＝2（a0＋a2＋…＋a2n），∴a0＋a2＋…＋a2n＝. 9.2　解析：（x＋）10的展开式的通项为Tr＋1＝x10－r（）r＝x10－2r，令10－2r＝4，解得r＝3，所以x4的系数为；令10－2r＝6，解得r＝2，所以x6的系数为，所以（x2－a）（x＋）10的展开式中x6的系数为－a＝30，解得a＝2. 10.2　解析：由5＞＞＝4，得的整数部分为4，则＝x＋4，所以（x＋4）4＝258，即x4＋4x3＋16x2＋64x＋256＝x4 ... ...