暑假作业1：空间向量与立体几何（含解析）

高二暑假作业1：空间向量与立体几何 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.(2025·江苏省连云港市·月考试卷)给出下列命题： ①零向量的方向是任意的; ②若两个空间向量相等，则它们的起点相同，终点也相同; ③若空间向量，满足，则 ④空间中任意两个单位向量必相等. 其中正确命题的个数为( ) A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 2.(2025·安徽省六安市·期中考试)空间向量在上的投影向量为( ) A. B. C. D. 3.(2025·江苏省扬州市·月考试卷)已知，，，若P，A，B，C四点共面，则( ) A. 3 B. C. 7 D. 4.(2025·湖北省荆州市·期中考试)如图，在平行六面体中，底面是边长为2的正方形，若，且，则的长为( ) A. B. C. D. 5.(2025·江西省宜春市·期中考试)已知，，，O为坐标原点，点Q在直线OP上运动，则当取得最小值时，点Q的坐标为( ) A. B. C. D. 6.(2025·河北省秦皇岛市·模拟题)如图所示，在正方体中，E是棱的中点，点F在棱上，且，若平面，则 A. B. C. D. 7.(2025·河南省·期中考试)在正四棱柱中，，，点O，分别为正方形ABCD与正方形的中心，E为的中点，点M为线段上的动点，则当点M到平面的距离最大时，直线CM与平面夹角的正弦值为( ) A. B. C. D. 8.(2025·福建省·单元测试)如图是一个棱数为24，棱长为的半正多面体，它的所有顶点都在同一个正方体的表面上，可以看成是由一个正方体截去八个一样的四面体所得.若点E为线段BC上的动点，则直线DE与直线AF所成角的余弦值的取值范围是( ) A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。 9.(2024·安徽省六安市·期末考试)下面四个结论正确的是( ) A. 空间向量，，若，则 B. 若对空间中任意一点O，有，则P、A、B、C四点共面 C. 已知是空间的一组基底，若，则也是空间的一组基底 D. 任意向量，，满足 10.(2025·河南省·期中考试)已知直线l的一个方向向量为，平面的一个法向量为，则 A. 若，，则 B. 若，则 C. 若，，则 D. 若，，则在上的投影向量的坐标为 11.(2025·广西壮族自治区·期末考试)在长方体中，，，E为的中点，动点P在长方体内含表面，且满足，记动点P的轨迹为，则 A. 的面积为 B. 平面与所在平面平行 C. 当时，存在点P，使得 D. 当时，三棱锥的体积为定值 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.(2025·四川省眉山市·模拟题)已知点关于坐标平面Oxy的对称点为，点关于坐标平面Oyz的对称点为，点关于z轴的对称点为，则 . 13.(2025·福建省·单元测试)如图，长方体中，、与底面所成的角分别为和，，点P为线段上一点，则最小值为 . 14.(2025·江苏省扬州市·期中考试)如图，在长方体中，E是的中点，点F是AD上一点，，，，动点P在上底面上，且满足三棱锥的体积等于1，则直线CP与所成角的正切值的最小值为 . 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 15.(2025·江西省景德镇市·期末考试)本小题13分 已知 求向量的坐标； 设向量，求； 若，求k的值. 16.(2025·江苏省扬州市·月考试卷)本小题15分 如图，在三棱柱中，，，，点D满足 用表示； 若三棱锥的所有棱长均为2，求及 17.(2025·安徽省·联考题)本小题15分 如图，在四棱锥中，是边长为4的等边三角形，底面ABCD为直角梯形，，，，E为PD的中点． 求证：平面PAB； 当平面平面ABCD时，求直线BE与平面PCD所成角的正弦值． 18.(2025·广西壮族自治区·期末考试)本小题17分 如图，在四棱锥中，底面ABCD是直角梯形，，，平面平面ABCD，，， 证明：平面平面 若平面PBC与平面ABCD的夹角为，求点C到平面PAB的距离. 19.(2025·湖北省·模拟题)本小题17分 如图，已知SA垂直于梯形ABCD所 ... ...