10.3　复数的三角形式及其运算（课件 学案 练习）高中数学人教B版（2019）必修 第四册

*10.3　复数的三角形式及其运算 1.若a＜0，则a的三角形式为（　　） A.a（cos 0＋isin 0） B.a（cos π＋isin π） C.－a（cos π＋isin π） D.－a（cos π－isin π） 2.复数z＝1－i（i为虚数单位）的三角形式为（　　） A.z＝（sin 45°－icos 45°） B.z＝（cos 45°－isin 45°） C.z＝[cos（－45°）－isin（－45°）] D.z＝[cos（－45°）＋isin（－45°）] 3.复数（sin 10°＋icos 10°）3的三角形式为（　　） A.sin 30°＋icos 30° B.cos 240°＋isin 240° C.cos 30°＋isin 30° D.sin 240°＋icos 240° 4.＝（　　） A.＋i B.－i C.＋i D.－i 5.设3＋4i的辐角主值为θ，则（3＋4i）·i的辐角主值是（　　） A.＋θ B.－θ C.θ－ D.－θ 6.（多选）若复数cos θ＋isin θ和sin θ＋icos θ相等，则θ的值可能为（　　） A. B. C.－ D.－ 7.若｜z｜＝2，arg z＝，则复数z＝　　　　. 8.计算（cos 40°＋isin 40°）÷（cos 10°＋isin 10°）＝　　　　. 9.把复数z1＝3－i对应的向量绕原点按顺时针方向旋转所得向量对应的复数z2＝　　　　. 10.计算： （1）（＋i）； （2）·； （3）. 11.（多选）下列所给复数中，辐角主值是的复数是（　　） A.－＋i B.－3＋i C.－i D.－2＋2i 12.设z＝1＋i，则复数的代数形式为　　　　，三角形式是　　　　. 13.设复数z满足＝，arg＝，求z的辐角主值. 14.向量，分别对应非零复数z1，z2，若⊥，则是（　　） A.负实数 B.纯虚数 C.正实数 D.虚数a＋bi（a，b∈R，a≠0） 15.已知z＝cos θ－sin θ＋＋i（cos θ＋sin θ）. （1）当θ为何值时，｜z｜取得最大值，并求此最大值； （2）若θ∈（π，2π），求arg z（用θ表示）. *10.3　复数的三角形式及其运算 1.C　因为a＜0，所以辐角主值为π，故其三角形式为－a（cos π＋isin π）.故选C. 2.D　依题意得r＝＝，复数z＝1－i对应的点在第四象限，且cos θ＝，因此arg z＝315°，结合选项知D正确，故选D. 3.B　（sin 10°＋icos 10°）3＝（cos 80°＋isin 80°）3＝cos 240°＋isin 240°. 4.B　＝＝cos（0°－60°）＋isin（0°－60°）＝cos（－60°）＋isin（－60°）＝－i.故选B. 5.A　（3＋4i）·i＝5（cos θ＋isin θ）·＝5，因为3＋4i的辐角主值为θ，所以θ∈，则（3＋4i）·i的辐角主值是＋θ. 6.ABD　因为cos θ＋isin θ＝sin θ＋icos θ，所以cos θ＝sin θ，即tan θ＝1，所以θ＝＋kπ（k∈Z）.可知选A、B、D. 7.1＋i　解析：由题意知，z＝2＝1＋i. 8.＋i　解析：（cos 40°＋isin 40°）÷（cos 10°＋isin 10°）＝cos（40°－10°）＋isin（40°－10°）＝cos 30°＋isin 30°＝＋i. 9.－2i　解析：由题意得z2＝（3－i）［cos＋isin］＝（3－i）＝－2i. 10.解：（1）∵＋i＝2， －cos－isin＝cos＋isin， ∴原式＝ ＝2 ＝2＝－－i. （2）原式＝· ＝. （3）＝＝4＋ ＝4＝2－2i. 11.AB　若arg z＝，则复数在复平面内对应的点必在第二象限，C不正确；选项A，－＋i＝2＝2，A正确；选项B，－3＋i＝2＝2，B正确；选项D，－2＋2i＝4＝4，D不正确.故选A、B. 12.1－i　　解析：将z＝1＋i代入， 得原式＝＝ ＝1－i＝. 13.解：由已知，得＝， ∴1－＝＋i， ∴＝－i， ∴z＝＝＝＝（＋i） ＝＝， ∴z的辐角主值arg z＝. 14.B　设复数z1＝r1（cos θ1＋isin θ1），z2＝r2（cos θ2＋isin θ2），由于⊥，所以＝＝·[cos（θ1－θ2）＋isin（θ1－θ2）]＝[cos（±90°）＋isin（±90°）]＝±i，即为纯虚数.故选B. 15.解：（1）｜z｜＝ ＝ ＝2 . 所以当cos＝1，即θ＝2kπ－（k∈Z）时， ｜z｜取最大值2. （2）设arg z＝α，由z＝cos θ－sin θ＋＋i（cos θ＋sin θ） ＝， 所以tan α＝＝tan. 因为θ∈（π，2π ... ...