第24章 解直角三角形 专题训练七 解直角三角形的常见模型（含答案）华东师大版九年级上册

专题训练七　解直角三角形的常见模型 单直角型 1.如图,在Rt△ABC中,∠ABC=90°,AB=4,AC=5,则cos A的值为 (　　) A. B. C. D. 2.如图1,天窗打开后,天窗边缘AC与窗框AB夹角为23°,它的示意图如图2所示.若AC长为a m,则窗角C到窗框AB的距离CD的大小为 (　　) 　　　　 　图1　　　　　 　　图2 A. m B. m C.acos 23° m D.asin 23° m 背靠背型 3.如图,某兴趣小组用无人机进行航拍测高,无人机从相距20 m的1号楼和2号楼的地面正中间点B垂直起飞到点A处,测得1号楼顶部E的俯角为60°,测得2号楼顶部F的俯角为45°.已知1号楼的高度为20 m,那么2号楼的高度为　　　　m.(结果保留根号) 拥抱型 4.某地为拓宽河道和提高拦水坝,进行了现有拦水坝改造.如图所示,改造前的斜坡AB=80 m,坡度为1∶4;将斜坡AB的高度AE提高20 m(即AC=20 m)后,斜坡AB改造成斜坡CD,其坡度为1∶1.5.则改造后斜坡CD的长为　　　　. 5.如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,D是边AB的中点,BE⊥CD,垂足为点E.已知AC=6,cos A=. (1)求线段CD的长. (2)求cos ∠DBE的值. 母子型 6.(2024青海中考)如图,某种摄像头识别到最远点A的俯角α是17°,识别到最近点B的俯角β是45°,该摄像头安装在距地面5 m的点C处,求最远点与最近点之间的距离AB.(结果取整数,参考数据:sin 17°≈0.29,cos 17°≈0.96,tan 17°≈0.31) 牵手型 7.(2024泸州中考)如图,海中有一个小岛C,某渔船在海中的A点测得小岛C位于东北方向上,该渔船由西向东航行一段时间后到达B点,测得小岛C位于北偏西30°方向上,再沿北偏东60°方向继续航行一段时间后到达D点,这时测得小岛C位于北偏西60°方向上.已知A、C相距30 n mile.求C、D间的距离(结果保留根号). 8.某兴趣小组开展了测量电线塔高度的实践活动.如图,斜坡BE的坡度i=1∶,BE=6 m,在B处测得电线塔CD顶部D的仰角为45°,在E处测得电线塔CD顶部D的仰角为60°. (1)求点B离水平地面的高度AB. (2)求电线塔CD的高度(结果保留根号). 直角+矩形型 9.(2024呼和浩特中考)实验是培养学生创新能力的重要途径.如图是小亮同学安装的化学实验装置,安装要求为试管口略向下倾斜,铁夹应固定在距试管口的三分之一处.现将左侧的实验装置图抽象成右侧示意图,已知试管AB=24 cm,BE=AB,试管倾斜角∠ABG为12°. (1)求试管口B与铁杆DE的水平距离BG的长度(结果用含非特殊角的三角函数表示). (2)实验时,导气管紧靠水槽壁MN,延长BM交CN的延长线于点F,且MN⊥CF于点N(点C、D、N、F在一条直线上),经测得:DE=28 cm,MN=8 cm,∠ABM=147°,求线段DN的长度(结果用含非特殊角的三角函数表示). 【详解答案】 1.A　解析:∵∠ABC=90°,AB=4, AC=5,∴cos A=.故选A. 2.D　解析:∵sin A==sin 23°,AC=a m,∴CD=AC·sin A=a sin 23°(m).故选D. 3.(50-10)　解析:如图,过点E作EG⊥AB于点G,FH⊥AB于点H, 则四边形BCEG和四边形BDFH均为矩形,∴BC=EG,HF=BD,DF=BH,由题意得CE=20 m,CD=20 m,BC=BD=10 m,∠AEG=60°, ∠AFH=45°,在Rt△AEG中, tan ∠AEG=,∴=tan 60°=,∴AG=10=30(m), 在Rt△AFH中, ∠AHF=90°,∠AFH=45°, ∠FAH=90°-∠AFH=45°,∴AH=HF=10 m,∴DF=BH=AG+BG-AH=30+20-10=(50-10)(m),∴2号楼的高度是(50-10)m. 4.50 m　解析:在Rt△ABE中, AB=80 m,,∴设AE=x m,BE=4x m,∴AB=x=80,∴x=80,∴AE=80 m, ∴CE=AE+AC=100 m,∵斜坡CD的坡度为1∶1.5,∴DE=150 m,由勾股定理得CD==50 m. 5.解:(1)在Rt△ABC中,∠ACB=90°,∴cos A=,∵AC=6, ∴AB=10,∵D是边AB的中点, ∴CD=AB=5. (2)如图,过点C作CF⊥AB于点F. ∵BC==8, ∴CF=AC·BC÷AB=4.8, ∴cos ∠DCF=. ∵∠DCF=∠DBE, ∴cos ∠DBE=. 6.解:如图,由题意得CE∥AD,CD=5 m,∴∠A=α=17°,∠CBD=β=45°. 在Rt△ACD中,∵CD=5, =tan 17°, ∴AD=≈5÷0.31≈16.1(m), 在Rt△BCD中,∵ ... ...