1.2.4 二面角 1.平面α的一个法向量为n1＝（4，3，0），平面β的一个法向量为n2＝（0，－3，4），则平面α与平面β所成角的余弦值为（ ） A.－ B. C. D.以上都不对 2.如图所示，在正四棱锥P-ABCD中，若△PAC的面积与正四棱锥的侧面积之比为∶8，则侧面与底面所成的二面角为（ ） A. B. C. D. 3.把正方形ABCD沿对角线AC折起，当以A，B，C，D四点为顶点的三棱锥体积最大时，二面角B-AC-D的大小为（ ） A.30° B.45° C.60° D.90° 4.已知二面角α-l-β为60°，动点P，Q分别在平面α，β内，P到β的距离为，Q到α的距离为2，则P，Q两点之间距离的最小值为（ ） A. B.2 C.2 D.4 5.（多选）我国古代数学名著《九章算术》中记载的“刍甍”（chumeng）是底面为矩形，顶部只有一条棱的五面体.如图五面体ABCDEF是一个刍甍，其中四边形ABCD为矩形，其中AB＝8，AD＝2，△ADE与△BCF都是等边三角形，且二面角E-AD-B与F-BC-A相等，则EF的长度可能为（ ） A.1 B.5 C.9 D.13 6.在正方体ABCD-A1B1C1D1中，二面角A1-BD-A的平面角的正切值为 . 7.若P是△ABC所在平面外一点，且△PBC和△ABC都是边长为2的正三角形，PA＝3，则二面角P-BC-A的大小为 . 8.如图，二面角α-l-β等于，A，B是棱l上两点，BD，AC分别在平面α，β内，AC⊥l，BD⊥l，且2AB＝AC＝BD＝2，则CD的长等于 . 9.如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为直角梯形，且AD∥BC，∠ABC＝∠PAD＝90°，侧面PAD⊥底面ABCD.若PA＝AB＝BC＝AD.求二面角A-PD-C的余弦值. 10.如图，已知矩形ABFE与矩形EFCD所成二面角D-EF-B的平面角为锐角，记二面角D-EF-B的平面角为α，直线EC与平面ABFE所成角为β，直线EC与直线FB所成角为γ，则（ ） A.β＞α，β＞γ B.α＞β，β＞γ C.α＞β，γ＞β D.α＞γ，γ＞β 11.《九章算术》是我国古代数学名著，它在几何学中的研究比西方早一千多年，书中将四个面均为直角三角形的四面体称为鳖臑.如图，四面体P-ABC为鳖臑，PA⊥平面ABC，AB⊥BC，且PA＝AB＝1，BC＝，则二面角A-PC-B的正弦值为 . 12.如图①，正方形ABCD的边长为4，AB＝AE＝BF＝EF，AB∥EF，把四边形ABCD沿AB折起，使得AD⊥平面AEFB，G是EF的中点，如图②. （1）求证：AG⊥平面BCE； （2）求二面角C-AE-F的余弦值. 13.（多选）如图，今年五一，小明去某游乐园玩“大摆锤”，他坐在A处，“大摆锤”启动后，主轴OB在平面α内绕点O左右摆动，平面α与水平地面垂直，OB摆动的过程中，点A在平面β内绕点B做圆周运动，并且始终保持OB⊥β，B∈β.已知OB＝6AB，在“大摆锤”启动后，下列结论中正确的有（ ） A.点A在某个定球面上运动 B.线段AB在水平地面上的正投影的长度为定值 C.直线OA与平面α所成角的正弦值的最大值为 D.β与水平地面所成角记为θ，直线OB与水平地面所成角记为δ，当0＜θ＜时，θ＋δ为定值 14.如图，矩形ABCD的边AB＝a，BC＝2，PA⊥平面ABCD，PA＝2，现有数据：①a＝；②a＝1；③a＝；④a＝2；⑤a＝4. （1）当BC边上存在点Q，使PQ⊥QD时，a可以取所给数据中的哪些值？请说明理由； （2）记满足（1）的条件下的Q点为Qn（n＝1，2，3，…），当a取所给数据中的最小值时，这样的点Qn有几个？试求二面角Qn-PA-Qn＋1的大小. 1.2.4 二面角 1.B cos＜n1，n2＞＝＝＝－，∴平面α与β的所成角的余弦值为. 2.D 设正四棱锥的底面边长为a，侧面与底面所成的二面角为θ，高为h，斜高为h'，则＝，∴＝，∴sin θ＝，即θ＝. 3.D 如图所示，欲使得三棱锥体积最大，∵三棱锥底面积一定，∴只须三棱锥的高最大即可，即当平面BAC⊥平面DAC时，三棱锥体积最大，∴当以A，B，C，D四点为顶点的三棱锥体积最大时，二 ... ...
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