3.2 数学探究活动：生日悖论的解释与模拟 1.生日悖论 如果一个房间里有23个或23个以上的人，那么至少有两个人的生日相同的概率要大于50%.这就意味着在一个典型的标准小学班级（30人）中，存在两人生日相同的可能性更高.对于60或者更多的人，这种概率要大于99%.从引起逻辑矛盾的角度来说生日悖论并不是一种悖论，从这个数学事实与一般直觉相抵触的意义上，它才称得上是一个悖论.大多数人会认为，23人中有2人生日相同的概率应该远远小于50%.计算与此相关的概率被称为生日问题，在这个问题之后的数学理论已被用于设计著名的密码攻击方法：生日攻击. 2.生日悖论的解释 理解生日悖论的关键在于领会相同生日的搭配可以是相当多的.如在前面所提到的例子，23个人可以产生＝253种不同的搭配，而这每一种搭配都有成功相等的可能.从这样的角度看，在253种搭配中产生一对成功的配对也并不是那样的不可思议. 换一个角度，如果你进入了一个有着22个人的房间，房间里的人中会和你有相同生日的概率便不是50%了，而是变得非常低.原因是这时候只能产生22种不同的搭配.生日问题实际上是在问任何23个人中会有两人生日相同的概率是多少. 一般地，n个人中至少2人生日相同的概率估计：P＝1－. 当n＝10时，P＝12%，当n＝20时，P＝41%，当n＝30时，P＝70%，当n＝50时，P＝97%，当n＝100时，P＝99.999 96%. 伯特纳德箱的悖论 伯特纳德设想有三个箱子，一个装着两枚金币，一个装着两枚银币，一个装一枚银币一枚金币.三个箱子混杂，然后随意取一个箱子，显然这个箱子里装着两个一样的钱币的概率是2/3. 然而，假定我们从选出的箱子中拿出一枚钱币，看到它是金的.这就是说，箱子里的不可能是两枚银币.因此，它必然是两枚金币；或一枚金币，一枚银币.由于这两个箱子中任何一个被选中的机会相等，看起来似乎我们取得两枚同样钱币的概率降到了1/2.如果我们取出的是银币，也会得出同样的结论. 取出箱中的一枚钱币看一看，怎么就改变了箱中装两枚同样钱币的概率呢？显然这是不可能的，这样就说明了上面错在哪里. 这里有一个相关的悖论学生们是会觉得很有意思的.如果你抛掷三枚硬币，它们掉下来后完全一致的概率是什么？三个当中至少有两个是—样的，另外那个要么与这两个一样，要么就是不同的.由于它出现这两种情况的机会均等，故它与另两个硬币是否一致的机会就是相等的.这样，看起来所有三个硬币都一样的概率就是. 我们只要将八种可能的情况列表如下，就可表明这种推论是错的： H H H T H H H H T T H T H T H T T H H T T T T T 看得出来，只有两种情况是三个硬币都取同样花纹.因此正确的概率应是＝. 碰运气 M：下一次你去游乐场，可别参加“碰运气”游戏！很多人去玩这种游戏都上当了，因为他们以为他们不会失误的. M：“碰运气”游戏是在一个笼子里装三个骰子，翻转摇晃笼子就使骰子滚动.玩的人可以赌从1到6任何一个数，只要一个骰子出现他说的数时，他就得到他赌的钱数.参与者往往这样想：如果这个笼子里只有一个骰子，我赌的数就只能在六次中出现一次.如果有两个骰子，则六次中就会出现两次.有三个骰子时，六次中就会有三次赢，这是对等的赌博！ M：“可是，我的机会还要好一些！如果我赌一个数，比如5，赌一块钱.要是有两个骰子点数是5的话，我就赢两块钱；若是三个骰子都是5，我就赢3块.这个游戏肯定对我有利！” M：由于主顾这样想，难怪赌场操纵者会变成百万富翁！你能说明为什么“碰运气”游戏会使赌场主赢得大笔赌金吗？“碰运气”是在美国和海外很多赌场中玩的赌戏.在英国，这种赌博可追溯到十九世纪初，当时称为“汗巾”.近来称为“鸟笼”.在英国和澳大利亚的酒馆，这种赌博的三个骰子上印的是一个黑桃，一个方块，一个红心，一个梅花 ... ...
