一、复数的有关概念 复数的概念是掌握复数的基础，如虚数、纯虚数、复数相等、复数的模等.有关复数的题目不同于实数，应注意根据复数的相关概念解答. 【例1】 已知z＝lg（m2－2m－2）＋（m2＋3m＋2）i，试求实数m的取值，使： （1）z是纯虚数； （2）z是实数； （3）z在复平面内对应的点位于第二象限. 反思感悟 处理复数概念问题的两个注意点 （1）当复数不是a＋bi（a，b∈R）的形式时，要通过变形化为a＋bi的形式，以便确定其实部和虚部； （2）求解时，要注意实部和虚部本身对变量的要求，否则容易产生增根. 【跟踪训练】 1.若复数z＝1＋i（i为虚数单位），是z的共轭复数，则z2＋的虚部为（ ） A.0 B.－1 C.1 D.－2 2.已知复数z1＝m＋（4－m2）i（m∈R）和z2＝2cos θ＋（λ＋3sin θ）i（θ∈R），若z1＝z2，则实数λ的取值范围为 . 二、复数的四则运算 复数运算是本章的重要内容，掌握复数的加法、减法、乘法和除法法则是关键，注意与多项式的四则运算法则做类比. 【例2】 （1）（2023·新高考Ⅰ卷2题）已知z＝，则z－＝（ ） A.－i B.i C.0 D.1 （2）设z1＝3－2i，z2＝5＋4i，求z1＋z2，z1z2，的值. 反思感悟 进行复数代数运算的策略 （1）复数运算的基本思路就是应用运算法则进行计算； （2）复数的四则运算中含有虚数单位i的看作一类同类项，不含i的看作另一类同类项，分别合并即可，但要注意把i的幂写成最简单的形式. 【跟踪训练】 1.（2023·全国甲卷2题）＝（ ） A.－1 B.1 C.1－i D.1＋i 2.（1＋i）20－（1－i）20＝（ ） A.－1 024 B.1 024 C.0 D.512 三、复数的几何意义 复数的几何意义是本章学习的难点，解答此类问题的关键是利用复数运算将复数化为a＋bi（a，b∈R）的形式，再利用复数与复平面内的点、向量之间的关系解题. 【例3】 （1）（2023·新高考Ⅱ卷1题）在复平面内，（1＋3i）（3－i）对应的点位于（ ） A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 （2）已知复数z1＝2＋3i，z2＝a＋bi（a，b∈R），z3＝1－4i，它们在复平面内所对应的点分别为A，B，C.若O为原点，且＝2＋，则a＝ ，b＝ . 反思感悟 在复平面内确定复数对应的点的步骤 （1）由复数确定有序实数对，即由z＝a＋bi（a，b∈R）确定有序实数对（a，b）； （2）由有序实数对（a，b）确定复平面内的点Z（a，b）； （3）由复平面内的点Z（a，b）确定向量＝（a，b）（O为坐标原点），同时也对应复数z＝a＋bi（a，b∈R）. 【跟踪训练】 1.在复平面内，复数z对应的点的坐标是（－1，），则z的共轭复数＝（ ） A.1＋i B.1－i C.－1＋i D.－1－i 2.（2024·湖州质检）已知复数z满足｜z＋i｜＝1，则｜z＋1｜的最大值为（ ） A. B.2 C.＋1 D.3 章末复习与总结 【例1】 解：（1）由得m＝3. ∴当m＝3时，z是纯虚数. （2）由 得m＝－1或m＝－2. ∴当m＝－1或m＝－2时，z是实数. （3）由 得－1＜m＜1－或1＋＜m＜3. ∴当－1＜m＜1－或1＋＜m＜3时，复数z在复平面内对应的点位于第二象限. 跟踪训练 1.A 因为z＝1＋i，所以＝1－i，所以z2＋＝（1＋i）2＋（1－i）2＝2i＋（－2i）＝0. 2.［－，7］ 解析：由题设及复数相等的定义，知m＝2cos θ，且4－m2＝λ＋3sin θ，消去参数m，得λ＝4－4cos2θ－3sin θ＝4sin2θ－3sin θ＝4（sin θ－）2－.∵－1≤sin θ ≤1，∴当sin θ＝时，λmin＝－；当sin θ＝－1时，λmax＝7.故－≤λ≤7，即λ∈. 【例2】 （1）A 由题意，得z＝＝＝－i，所以＝i，所以z－＝－i－i＝－i.故选A. （2）解：因为z1＝3－2i，z2＝5＋4i. 所以z1＋z2＝3－2i＋5＋4i＝8＋2i， z1z2＝（3－2i）（5＋4i）＝23＋2i， ＝＝＝＝－i. 跟踪训练 1.C 由题意得＝＝＝1－i ... ...
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