第13章　培优课　几何法求空间角（课件 学案 练习）高中数学苏教版（2019）必修 第二册

几何法求空间角 题型一 异面直线所成的角 【例1】　正六棱柱ABCDEF-A1B1C1D1E1F1的底面边长为1，侧棱长为，则这个棱柱侧面对角线E1D与BC1所成的角是（　　） A.90°　 　B.60°　 　C.45°　 　D.30° 通性通法 求异面直线所成的角的方法 　　求异面直线所成的角，可通过多种方法平移产生三角形，主要有三种方法：①直接平移法（可利用图中已有的平行线）；②中位线平移法；③补形平移法（在已知图形中，补作一个相同的几何体，以便找到平行线）. 【跟踪训练】 　已知正四棱锥P-ABCD中，PA＝2，AB＝，M是侧棱PC的中点，且BM＝，则异面直线PA与BM所成角为　　　　. 题型二 直线与平面所成的角 【例2】　（2024·连云港月考）如图，在正三棱柱ABC-A1B1C1中，已知AB＝1，D在棱BB1上，且BD＝1，则AD与平面AA1C1C所成角的正弦值为（　　） A. B. C. D. 通性通法 直线与平面所成的角的求法 　　求直线与平面所成的角，一般先确定直线与平面的交点（斜足），然后在直线上取一点（除斜足外）作平面的垂线，再过垂足和斜足作直线，即得直线在平面内的射影，最后根据垂线、斜线、射影所组成的直角三角形，求出直线与平面所成的角. 提醒　（1）斜线在平面上的射影是过斜足和垂足的一条直线而不是线段；（2）一条斜线与平面所成的角是这条斜线与平面内所有直线所成角中最小的，称之为最小角定理. 【跟踪训练】 　在正方体ABCD-A1B1C1D1中，棱BC，A1B1的中点分别为E，F，则直线EF与平面ABB1A1所成角的正弦值为（　　） A. B. C. D. 题型三 二面角 角度1　定义法求二面角 【例3】　如图所示，平面ABCD⊥平面BCEF，四边形ABCD为矩形，四边形BCEF为直角梯形，BF∥CE，BC⊥CE，DC＝CE.求平面ADE与平面BCEF所成二面角的大小. 通性通法 　　利用二面角的定义，在二面角的棱上找点，过点在两个平面内作棱的垂线，两垂线所成的角就是二面角的平面角，解题时应先找平面角，再证明，最后在三角形中求平面角. 角度2　垂面法求二面角 【例4】　（2024·泰州月考）如图所示，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F，M，N分别是A1B1，BC，C1D1和B1C1的中点. （1）求证：平面MNF⊥平面NEF； （2）求二面角M-EF-N的平面角的正切值. 通性通法 　　二面角中如果存在一个平面与棱垂直，且与二面角的两个半平面都相交，那么这两条交线所成的角即为该二面角的平面角. 角度3　垂线法求二面角 【例5】　如图，平面β内一条直线AC，AC与平面α所成的角为30°，AC与棱BD所成的角为45°，求二面角α-BD-β的大小. 通性通法 　　如果两个平面相交，有过一个平面内的一点与另一个平面垂直的垂线，可过这一点作棱的垂线，连接两个垂足，应用三垂线定理可证明两垂足的连线与棱垂直，那么就可以找到二面角的平面角. 角度4　射影面积法求二面角 【例6】　在四棱锥P-ABCD中，四边形ABCD为正方形，PA⊥平面ABCD，PA＝AB＝a，求平面PBA与平面PDC所成二面角的大小. 通性通法 　　若多边形的面积为S，它在一个平面内的射影图形的面积为S'，且多边形与该平面所成的二面角为θ，则cos θ＝. 【跟踪训练】 1.如图，已知正三棱柱ABC-A1B1C1的各棱长都相等，则二面角A1-BC-A的平面角的正切值为（　　） A.　 　B.　 　C.1　 　D. 2.《九章算术》是我国古代数学名著，书中将四个面均为直角三角形的棱锥称为“鳖臑”.如图，四面体P-ABC为鳖臑，PA⊥平面ABC，AB⊥BC，且PA＝AB＝1，BC＝，则二面角A-PC-B的正弦值为　　　　. 1.若一个圆锥的侧面积是底面面积的2倍，则该圆锥的母线与其底面所成的角的大小为（　　） A. B. C. D. 2.如图所示，在三棱柱ABC-A1B1C1中，若∠ABC＝90°，AB＝BC＝1，则异面直线B1C1与AC所成角的大小为（　　） A.45° B.60° C.30° D.90° 3.已知在如图所示的四面体ABCD ... ...