第13章 培优课　与球有关的“切”“接”问题（课件 学案 练习）高中数学苏教版（2019）必修 第二册

与球有关的“切”“接”问题 　　空间几何体与球有关的“切”“接”问题是立体几何中的重点，也是难点.所谓几何体的外接球，是指几何体的各顶点（或旋转体的顶点、底面圆周）都在一个球面上，此球称为该几何体的外接球；内切球是指与几何体内各面（平面、曲面）都相切的球.求解此类问题的关键是作出合适的截面圆，确定球心，再由球的半径R、截面圆的半径r及各几何量建立关系. 题型一 几何体的外接球 角度1　柱体的外接球 【例1】　（1）已知圆柱的底面半径为1，母线长为2，则该圆柱的外接球的体积为（　　） A. B. C. D. （2）一个六棱柱的底面是正六边形，其侧棱垂直于底面，已知该六棱柱的顶点都在同一个球面上，且该六棱柱的体积为，底面周长为3，则这个球的体积为　　　　. 通性通法 柱体外接球问题的求解策略 （1）正方体、长方体的外接球：①正方体的外接球的球心为其体对角线的中点，半径为体对角线长的一半；②长方体的外接球的球心为其体对角线的中点，半径为体对角线长的一半； （2）求圆柱的外接球，可以先作该圆柱的轴截面，轴截面对角线即为外接球的直径，或将空间问题转化为平面问题，按图示方法求解； （3）求直棱柱的外接球，可以先求其外接圆柱体，再利用该圆柱体的轴截面求半径即可. 角度2　锥体的外接球 【例2】　（1）（2024·南通月考）已知球O是圆锥PO1的外接球，圆锥PO1的母线长是底面半径的3倍，且球O的表面积为，则圆锥PO1的侧面积为　　　　； （2）若正四棱锥S-ABCD的底面边长和各侧棱长都为，各顶点都在同一球面上，则此球的体积为　　　　. 通性通法 锥体外接球问题的求解策略 （1）求圆锥的外接球，可以先作其轴截面，其为三角形，该三角形中垂线的交点即为球心，将空间问题转化为平面问题，按图示方法求解； 　　 （2）求正棱锥的外接球，可以先求其外接圆锥，再利用该圆锥的轴截面求半径即可； （3）求直棱锥的外接球，可以先求其外接直棱柱，按照柱体求外接球半径的方法求解即可. 角度3　台体的外接球 【例3】　（2024·镇江质检）已知正三棱台的高为1，上、下底面边长分别为3和4，其顶点都在同一球面上，则该球的表面积为（　　） A.100π　 B.128π 　C.144π　 D.192π 通性通法 台体外接球问题的求解策略 （1）圆台的外接球：如图，设r1，r2，h分别为圆台的上、下底面的半径和高，R为外接球的半径： （2）求棱台的外接球，可以先求其外接圆台，然后按照求圆台外接球的方法求解. 角度4　可补成规则几何体的外接球 【例4】　已知四面体ABCD的每个顶点都在球O的球面上，AB，AC，AD两两垂直，且AB＝，AC＝2，AD＝3，则球O的表面积为　　　　. 通性通法 1.若三棱锥的三条侧棱两两互相垂直，则可将其放入某个长方体内，如图①所示. 2.若三棱锥的四个面均是直角三角形，则此时可构造长方体，如图②所示. 3.正四面体P-ABC可以补形为正方体且正方体的棱长a＝，如图③所示. 4.若三棱锥的对棱两两相等，则可将其放入某个长方体内，如图④所示. 【跟踪训练】 1.在三棱锥P-BCD中，BC⊥CD，PB⊥底面BCD，设BC＝1，PB＝CD＝2，则该三棱锥的外接球的体积为（　　） A. B.3π C. D.5π 2.一个圆台的轴截面的面积为6，上、下底面的半径分别为1，2，则该圆台的外接球的体积为　　　　. 3.如图，某几何体由共底面的圆锥和圆柱组合而成，且圆柱的两个底面圆周和圆锥的顶点均在体积为36π的球面上，若圆柱的高为2，则圆锥的侧面积为　　　　. 题型二 几何体的内切球 【例5】　（1）已知圆锥的底面半径为1，母线长为3，则该圆锥内半径最大的球的体积为（　　） A. B. C. D.π （2）《九章算术》中将四个面都为直角三角形的三棱锥称为鳖臑.若三棱锥P-ABC为鳖臑，PA⊥平面ABC，PA＝BC＝4，AB＝3，AB⊥BC，若三棱锥 ... ...