4.4 数学归纳法* 1.一个关于自然数n的命题，如果证得当n＝1时命题成立，并在假设当n＝k（k∈N*）时命题成立的基础上，证明了当n＝k＋2时命题成立，那么综合上述，对于（ ） A.一切正整数命题成立 B.一切正奇数命题成立 C.一切正偶数命题成立 D.以上都不对 2.用数学归纳法证明“当n为正奇数时，xn＋yn能被x＋y整除”的第二步是（ ） A.假设n＝2k＋1时正确，再推n＝2k＋3时正确 B.假设n＝2k－1时正确，再推n＝2k＋1时正确 C.假设n＝k时正确，再推n＝k＋1时正确 D.假设n＝k（k≥1），再推n＝k＋2时正确（以上k∈N*） 3.用数学归纳法证明1＋＋＋…＋＜n（n∈N*，n＞1）时，第一步应验证不等式（ ） A.1＋＜2 B.1＋＋＜2 C.1＋＋＜3 D.1＋＋＋＜3 4.已知8＞7，16＞9，32＞11，…，则有（ ） A.2n＞2n＋1 B.2n＋1＞2n＋1 C.2n＋2＞2n＋5 D.2n＋3＞2n＋7 5.用数学归纳法证明n＋（n＋1）＋（n＋2）＋…＋（3n－2）＝（2n－1）2（n∈N*）时，若记f（n）＝n＋（n＋1）＋（n＋2）＋…＋（3n－2），则f（k＋1）－f（k）＝（ ） A.3k－1 B.3k＋1 C.8k D.9k 6.（多选）用数学归纳法证明不等式＋＋＋…＋＞－1（n∈N*，n≥2）时，以下说法正确的是（ ） A.第一步应该验证当n＝1时不等式成立 B.“n＝k（k∈N*，k≥2）到n＝k＋1”左边需要增加的代数式是 C.从“n＝k（k∈N*，k≥2）到n＝k＋1”左边需要增加2k－1项 D.当n＝2时不等式左边是 7.用数学归纳法证明不等式1＋＋＋…＋＞（n∈N*）成立，其初始值至少应取 . 8.用数学归纳法证明：“两两相交且不共点的n条直线把平面分为f（n）部分，则f（n）＝1＋.”证明第二步归纳递推时，用到f（k＋1）＝f（k）＋ . 9.用数学归纳法证明“（3n＋1）·7n－1（n∈N*）能被9整除”，在假设n＝k时命题成立之后，需证明n＝k＋1时命题也成立，这时除了用归纳假设外，还需证明的是余项 能被9整除. 10.设f（n）＝1＋＋＋…＋（n∈N*）.求证：f（1）＋f（2）＋…＋f（n－1）＝n[f（n）－1]（n≥2，n∈N*）. 11.用数学归纳法证明1＋2＋3＋…＋n2＝，则当n＝k＋1时左端应在n＝k的基础上加上（ ） A.（k＋1）2 B.k2＋1 C. D.（k2＋1）＋（k2＋2）＋（k2＋3）＋…＋（k＋1）2 12.（多选）已知一个命题p（k），k＝2n（n∈N*），若当n＝1，2，…，1 000时，p（k）成立，且当n＝1 001时也成立，则下列判断中正确的是（ ） A.p（k）对k＝528成立 B.p（k）对每一个自然数k都成立 C.p（k）对每一个正偶数k都成立 D.p（k）对某些偶数可能不成立 13.平面内有n个圆，其中每两个圆都相交于两点，且每三个圆都无公共点，用f（n）表示这n个圆把平面分割的区域数，那么f（n＋1）与f（n）之间的关系为 . 14.用数学归纳法证明：＋＋＋…＋＜1－（n≥2，n∈N*）. 15.已知数列{an}的前n项和为Sn，且a1＝1，Sn＝n2an（n∈N*）. （1）写出S1，S2，S3，S4，并猜想Sn的表达式； （2）用数学归纳法证明你的猜想，并求出an的表达式. 4.4 数学归纳法* 1.B 本题证明了当n＝1，3，5，7，…时，命题成立，即命题对一切正奇数成立. 2.B 因为n为正奇数，根据数学归纳法证明步骤，第二步应先假设第k个正奇数也成立，本题即假设n＝2k－1正确，再推第（k＋1）个正奇数即n＝2k＋1正确. 3.B 由题意得，当n＝2时，不等式为1＋＋＜2，故选B. 4.C 由8＞7，16＞9，32＞11，得到23＞2×3＋1，24＞2×4＋1，25＞2×5＋1，即22＋1＞2×（2＋1）＋1＝2×1＋5，22＋2＞2×（2＋2）＋1＝2×2＋5，22＋3＞2×（2＋3）＋1＝2×3＋5，由此可得第四项为64＞13，即22＋4＞2×（2＋4）＋1＝2×4＋5，故有2n＋2＞2n＋5，故选C. 5.C 因为f（k）＝k＋（k＋1）＋（k＋2）＋…＋（3k－2 ... ...
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