专题训练十 构造等腰三角形的常用方法 利用平行线构造等腰三角形 1.如图所示,点D在等边三角形ABC的边AB上,点F在AC边上,连接DF并延长交BC的延长线于点E,已知EF=DF. 求证:AD=CE. 利用角平分线构造等腰三角形 2.如图,在△ABC中,AD平分∠BAC,CD⊥AD于点D,∠DCB=∠B.若AC=10,AB=25,求CD的长. 利用延长线段构造等腰三角形 3.如图,在四边形ABCD中,AD∥BC,E为AB的中点,CD=AD+BC,连接DE,CE. 求证:(1)DE⊥CE. (2)S△ADE+S△BCE=S△CDE. 利用“倍角”构造等腰三角形 4.如图,在△ABC中,∠ABC=2∠C,AD⊥BC,垂足为D.若BD=2,CD=8,求AB的长(用两种不同方法). 【详解答案】 1.证明:作DG∥BC交AC于点G,如图所示, 则∠DGF=∠ECF, 在△DFG和△EFC中, ∴△DFG≌△EFC(AAS). ∴DG=CE. ∵△ABC是等边三角形, ∴∠A=∠B=∠ACB=60°. ∵DG∥BC, ∴∠ADG=∠B,∠AGD=∠ACB. ∴∠A=∠ADG=∠AGD. ∴△ADG是等边三角形, ∴AD=DG. ∴AD=CE. 2.解:如图,延长CD交AB于点E. ∵AD平分∠BAC. ∴∠1=∠2. ∵CD⊥AD, ∴∠ADE=∠ADC=90°. ∵在△ADE与△ADC中, ∴△ADE≌△ADC(ASA). ∴AE=AC=10,DE=DC. ∵∠DCB=∠B, ∴BE=CE=2DC. ∴AB=AE+BE=10+2DC=25. ∴DC=7.5. 3.证明:(1)延长DE交CB的延长线于点F,如图所示. ∵AD∥BC,∴∠ADE=∠F, ∵E为AB的中点, ∴AE=BE. 在△ADE与△BFE中, ∴△ADE≌△BFE(AAS), ∴AD=BF,DE=EF, ∵CD=AD+BC, ∴CD=CF, ∴DE⊥CE. (2)由(1)知DE=EF, CE⊥DF,∴S△CDE=S△CEF. ∵△ADE≌△BFE, ∴S△CDE=S△CEF=S△BFE+S△BCE=S△ADE+S△BCE. 4.解:方法一(截长法) 在CD上截取DE=BD=2,连接AE(图略).∵AD⊥BC,∴AB=AE.∴∠AEB=∠ABC=2∠C. ∵∠AEB=∠C+∠EAC,∴∠C=∠EAC.∴AE=EC=CD-DE=6.∴AB=6. 方法二(补短法) 延长DB至点F,使得BF=AB,连接AF(图略),则∠F=∠BAF,∴∠ABC=∠F+∠BAF= 2∠F.∵∠ABC=2∠C,∴∠F=∠C.∴AF=AC.∵AD⊥FC,∴FD=DC=8.∵BD=2,∴FB=FD-BD=6.∴AB=FB=6.
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