第十七章 专题训练十二　等腰三角形的性质与判定的综合运用 同步练 （含答案）2025-2026学年数学冀教版（2024）八年级上册

专题训练十二　等腰三角形的性质与判定的综合运用 求线段的长度 1.(2025涿州期末)如图,在△ABC中,AB=AC,AD是中线,E是AD上一点,若CE=5,则BE= (　　) A.7 B.6 C.5 D.4 2.如图,在△ABC中,∠BAC=90°,AC=6,AB=8,过点A的直线DE∥BC,∠ABC与∠ACB的平分线分别交DE于点E,D,则DE的长为 (　　) A.14 B.16 C.18 D.20 3.如图,在△ABC中,BC=15 cm,BP,CP分别是∠ABC和∠ACB的平分线,且PD∥AB,PE∥AC,则△PDE的周长为　　　　. 4.如图,上午8时,一条船从海岛A出发,以15 n mile/h的速度向正北航行,10时到达海岛B处,从A,B望灯塔C,测得∠NAC=43°,∠NBC=86°,问海岛B与灯塔C相距多远 求角的度数 5.(2025雄安新区期末)如图,直线a,b分别经过等边三角形ABC的顶点A,C,且a∥b,∠1=42°,则∠2的度数为 (　　) A.18° B.42° C.60° D.102° 6.如图,在等边三角形ABC中,E是边AC上一点,AD为BC边上的中线,AD,BE相交于点F.若 ∠AEB=100°,则∠AFB的度数为　　　　. 7.如图,在四边形ABCD中,AD∥BC,AC平分∠BCD. (1)求证:△ACD是等腰三角形. (2)若AC=BC,∠B=70°,求∠D的度数. 判定线段之间或角之间的关系 8.(2025保定清苑区期末)如图,在3×3的网格中,以AB为一边,点P在格点处,使△ABP为等腰三角形的点P有 (　　) A.2个 B.5个 C.3个 D.1个 9.(2025衡阳广汉期中)如图,在△ABC中,AB=AC,∠BAC=36°,CD是∠ACB的平分线,交AB于点D,过点A作AE∥BC,交CD的延长线于点E. 求证:AE=DE. 10.如图,在△ABC中,AD平分∠BAC,过线段CD上一点E作EG∥AD,交AC于点F,交BA的延长线于点G. (1)求证:△AFG是等腰三角形. (2)若CE=EF,∠BAC=80°,求∠B的度数. 11.(1)如图1,P是等腰三角形ABC底边BC上的一个动点,过点P作BC的垂线,交AB于点Q,交CA的延长线于点R.请观察AR与AQ,它们有何数量关系 并证明你的猜想. (2)如果点P沿着底边BC所在的直线,按由C向B的方向运动到CB的延长线上,(1)中所得的结论还成立吗 请你在图2中完成图形,并给予证明. 　　　 图1　　　　　 图2 12.若一个四边形有一组邻边相等,且这组邻边夹角所对的对角线平分一个内角,则称这样的四边形为“半对称四边形”,这条角平分线称为四边形的“分割对角线”.例如: 如图1,在四边形ABCD中,AB=AD,BD平分∠ABC,则称四边形ABCD是“半对称四边形”,BD称为四边形ABCD的“分割对角线”. (1)如图1,求证:BC∥AD. (2)如图2,在四边形ABCD中,AB=AC,AD∥BC,∠CAD=2∠DBC.求证:四边形ABCD是“半对称四边形”. 图1　 　图2 【详解答案】 1.C　解析:∵AB=AC,AD是中线,∴AD⊥BC,BD=CD.∴AD垂直平分BC.∴BE=CE=5.故选C. 2.A　解析:∵DE∥BC,∴∠E=∠EBC.∵BE平分∠ABC,∴∠ABE=∠EBC.∴∠E=∠ABE.∴AB=AE.同理可得AD=AC,∴DE=AD+AE=AC+AB=14.故选A. 3.15 cm　解析:∵BP,CP分别是∠ABC和∠ACB的平分线,∴∠ABP=∠PBD,∠ACP=∠PCE.∵PD∥AB,PE∥AC,∴∠ABP=∠BPD,∠ACP=∠CPE.∴∠PBD=∠BPD, ∠PCE=∠CPE.∴BD=PD,CE=PE.∴△PDE的周长=PD+DE+PE=BD+DE+EC=BC=15 cm. 4.解:∵∠NAC=43°,∠NBC=86°, ∴∠ACB=43°. ∴∠NAC=∠ACB. ∴BC=BA=15×(10-8)=30(n mile). 答:海岛B与灯塔C相距30 n mile. 5.D　解析:∵a∥b,∠1=42°,∴∠1+∠BAC=∠2.∵△ABC是等边三角形,∴∠BAC=60°.∴∠2=42°+60°=102°.故选D. 6.130°　解析:∵△ABC是等边三角形,E是边AC上一点,AD为BC边上的中线,∴∠EAF=∠BAC=×60°=30°. ∵∠AEB=100°,∴∠AFB=∠AEB+∠EAF=100°+30°=130°. 7.解:(1)证明:∵AC平分∠BCD, ∴∠ACD=∠ACB. ∵AD∥BC, ∴∠DAC=∠ACB, ∴∠DAC=∠ACD, ∴AD=CD. ∴△ACD是等腰三角形. (2)∵AC=BC,∠B=70°, ∴∠B=∠BAC=70°, ∴∠ACB=180°-2×70°=40°, ∴∠DAC=∠DCA=40°, ∴∠D=180°-2×40°=100°. 8.B　解析:分三种情况:如图, 当AP=AB时,以点A为圆 ... ...