6.3.4 空间距离的计算 1.若O为坐标原点，＝（1，1，－2），＝（3，2，8），＝（0，1，0），则线段AB的中点P到点C的距离为（ ） A. B.2 C. D. 2.（2024·盐城月考）在空间直角坐标系O-xyz中，已知点D（2，1，0）和向量m＝（4，1，2），且m⊥平面DEF，则点O到平面DEF的距离为（ ） A. B. C. D. 3.已知棱长为1的正方体ABCD-EFGH，若点P在正方体内部且满足＝＋＋，则点P到直线AB的距离为（ ） A. B. C. D. 4.已知△ABC的顶点分别为A（1，－1，2），B（5，－6，2），C（1，3，－1），则AC边上的高BD＝（ ） A.25 B.5 C. D.1 5.（2024·淮安月考）如图，已知长方体ABCD-A1B1C1D1中，A1A＝5，AB＝12，则直线B1C1到平面A1BCD1的距离是（ ） A.5 B.8 C. D. 6.（多选）如图，四棱柱ABCD-A1B1C1D1的底面ABCD是正方形，O为底面中心，A1O⊥平面ABCD，AB＝AA1＝，以O为原点，OB，OC，OA1所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系，则下列说法正确的是（ ） A.＝（1，0，1） B.平面OBB1的一个法向量为n＝（0，1，－1） C.A1C⊥平面OBB1 D.点A到平面OBB1的距离为 7.已知平面α的一个法向量为n＝（－2，－2，1），点A（x，3，0）在平面α内，若点P（－2，1，4）到平面α的距离d＝，则x的值为 . 8.在长方体OABC-O1A1B1C1中，OA＝2，AB＝3，AA1＝2，则O1到直线AC的距离为 . 9.（2024·南通质检）已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为a，则平面AB1D1与平面BDC1的距离为 . 10.在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F分别是C1C，D1A1的中点，求点A到直线EF的距离. 11.如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，所有棱长均为1，且AA1⊥底面ABC，则点B1到平面ABC1的距离为（ ） A. B. C. D.1 12.（2024·常州月考）如图，正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为4，M，N，E，F分别为A1D1，A1B1，C1D1，B1C1的中点，则平面AMN与平面EFBD的距离为 . 13.（2024·扬州月考）如图，已知正方形ABCD的边长为1，PD⊥平面ABCD，且PD＝1，E，F分别为AB，BC的中点. （1）求点D到平面PEF的距离； （2）求直线AC到平面PEF的距离. 14.如图，在四棱锥P-ABCD的平面展开图中，四边形ABCD是边长为2的正方形，△ADE是以AD为斜边的等腰直角三角形，∠HDC＝∠FAB＝90°，求四棱锥P-ABCD外接球的球心到平面PBC的距离. 6.3.4 空间距离的计算 1.D ∵＝（＋）＝（4，3，6）＝，＝（0，1，0），∴＝－＝，∴｜｜＝＝. 2.B 因为D（2，1，0），所以＝（2，1，0），又向量m＝（4，1，2），m⊥平面DEF，所以m＝（4，1，2）是平面DEF的一个法向量，所以点O到平面DEF的距离为d＝＝＝＝. 3.A 建立如图所示的空间直角坐标系，则＝（1，0，0）＋（0，1，0）＋（0，0，1）＝.又＝（1，0，0），记φ＝＜，＞，∴cos φ＝＝＝，∴sin φ＝＝，∴d＝｜｜·sin φ＝. 4.B 设＝λ，∵＝（0，4，－3），∴＝（0，4λ，－3λ），又∵＝（4，－5，0），∴＝－＝（－4，4λ＋5，－3λ）.由·＝0，得4（4λ＋5）＋9λ＝0，解得λ＝－，∴＝（－4，，），∴BD＝｜｜＝5.故选B. 5.C 以D为坐标原点，，，的方向分别为x，y，z轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系，则C（0，12，0），D1（0，0，5）.设AD＝x（x＞0），则B（x，12，0），B1（x，12，5）.设平面A1BCD1的法向量为n＝（a，b，c），由n⊥，n⊥，得n·＝（a，b，c）·（－x，0，0）＝－ax＝0，n·＝（a，b，c）·（0，－12，5）＝－12b＋5c＝0，所以a＝0，b＝c，所以可取n＝（0，5，12）.又＝（0，0，－5），所以点B1到平面A1BCD1的距离为＝.因为B1C1∥平面A1BCD1，所以B1C1到平面A1BCD1的距离为. 6.BCD 由题意得O（0，0，0），B（1，0，0），C（0，1，0），A（0，－1，0），A1（0，0，1），B ... ...
