2024-2025 学年黑龙江省大庆左思高中高一（下）期中数学试卷 一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.在菱形 中， + =( ) A. B. C. D. 2.已知向量 = ( , 1)， = (2,1)，若 // ，则实数 =( ) A. 12 B. 1 2 C. 2 D. 2 3.设△ 的内角 ， ， 的对边分别为 ， ， ，若 = 2 2， = 4， = 3 4 ，则 =( ) A. 62 B. 6 C. 3 2 D. 3 4.如图所示，△ ′ ′ ′表示水平放置的△ 的直观图，则△ 的面积是( ) A. 2 2 B. 4 C. 2 D. 2 5.已知向量 = (1,3)， = (1, 1)， = ( 2,4)，则 ( + ) =( ) A. 8 B. 8 C. 4 D. 4 6.一个圆台的母线长为 5，上、下底面的半径分别为 2，5，则圆台的体积为( ) A. 64 B. 56 C. 48 D. 52 7.已知△ 的内角 ， ， 所对的边分别为 ， ， ，且( + )2 2 = 4， = 120°，则△ 的面积为 ( ) A. 33 B. 2 3 3 C. 3 D. 2 3 8.如图，正方体 ′ ′ ′ ′的棱长为 2， 为 的中点， 为线段 ′ 上的动点，给出下列四 个结论： ①存在唯一的点 ，使得 ， ′， ， 四点共面； ② + ′ 的最小值为 2 3； ③存在点 ，使得 ⊥ ′ ； ④有且仅有一个点 ，使得平面 截正方体 ′ ′ ′ ′所得截面的 面积为 2 5． 第 1页，共 7页 其中所有正确结论的个数为( ) A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 二、多选题：本题共 3 小题，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。 9.若直线 与平面 垂直，则下列说法正确的是( ) A.直线 与平面 的所有直线都垂直 B.在平面 内存在与直线 异面的直线 C.在平面 内存在无数条直线与直线 相交 D.在平面 内存在与直线 平行的直线 10.已知复数 = 5 4 ，以下说法正确的是( ) A. 的实部是 5 B. | | = 41 C. = 5 + 4 D. 在复平面内对应的点在第一象限 11.如图，在长方体 1 1 1 1中， = 2， = 4， 1 = 6. ， ， ， 分别为 1 1， 1 1， ， 的中点，下列说法正确的是( ) A.长方体 1 1 1 1外接球的表面积为 56 B. 与 3所成角的余弦值为5 C. //平面 1 D. 与平面 6 5所成角的正切值为 5 三、填空题：本题共 2 小题，每小题 5 分，共 10 分。 12.已知向量 = (1,2), = (2, 1)，则| + |的值为_____． 13 .已知1 = 2 + ，则复数 = _____． 四、解答题：本题共 6 小题，共 65 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 14.(本小题 5 分) 如图所示，在 △ 中，斜边 = 5，它在平面 上的射影 长为 4，∠ = 60°，求 与平面 所成角的正弦值． 第 2页，共 7页 15.(本小题 12 分) 求实数 的值，使得复数 = 2 + 2+ ( 2 1) 分别是： (1)实数； (2)纯虚数． 16.(本小题 12 分) 已知向量 = (3, 1)， = (4,2)． (1)求 ，| + |； (2)求向量 与 的夹角； (3)若( + ) ⊥ ( + )，求实数 的值． 17.(本小题 12 分) 如图，在直三棱柱 1 1 1中， ⊥ ， 1 = = 2， = 1， ， 分别为 1 1， 的中点． (1)证明： 1 //平面 ； (2)求三棱锥 的体积． 18.(本小题 12 分) 在△ 中，内角 ， ， 所对的边分别为 ， = 2 + ， ，且 2 ． (1)求角 的大小； (2)若 的角平分线交 于 ，且 = 3，求△ 面积的最小值． 19.(本小题 12 分) 三棱台 1 1 1中，若 1 ⊥平面 ， ⊥ ， = = 1 = 2， 1 1 = 1， ， 分别是 ， 的中点． (1)求 1 与 1所成角的余弦值； 第 3页，共 7页 (2)求平面 1 与平面 1 1所成角的余弦值； (3)求证 1与平面 1 1平行． 第 4页，共 7页 参考答案 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 11. 12. 10 13.3 14.2 35 ． 15.解：(1)由题知，复数 = 2 + 2 + ( 2 1) 为实数当且仅当 2 1 = 0，即 = 1 或 = 1， 所以当 = 1 或 = 1 时，复数 = 2 + 2 + ( 2 1) 为实数． 2 (2)复数 = 2 + 2 + ( 2 1) 为纯虚数当且仅当 + 2 = 0 ( + 2)( 1) = 0 2 ，即 ... ...
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