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课件网) 2.2 等差数列的前n项和 §2 等差数列 知识点 1 等差数列的前n项和公式 知识 清单破 已知量 首项、末项与项数 首项、公差与项数 求和 公式 Sn= Sn=na1+ d 知识点2 等差数列{an}的前n项和公式可化为关于n的表达式:Sn=na1+ = n2+ n. (1)该表达式中没有常数项; (2)当d≠0时,Sn关于n的表达式是一个常数项为零的二次式,即Sn是关于n的二次函数,它的图 象是抛物线y= x2+ x上横坐标为正整数的一系列孤立的点. 知识点 2 等差数列{an}的前n项和公式的函数特性 知识点3 1.公差为d的等差数列中,每k项之和Sk,S2k-Sk,S3k-S2k,…组成公差为k2d的等差数列. 2.若等差数列的项数为2n(n∈N+),则S2n=n(an+an+1),S偶-S奇=nd(d为等差数列的公差), = (S奇 ≠0,an≠0); 若等差数列的项数为2n-1(n∈N+),则S2n-1=(2n-1)an,S奇-S偶=an, = (S奇≠0). 3.{an}为等差数列 为等差数列(Sn为数列{an}的前n项和). 4.若两个等差数列{an},{bn}的前n项和分别为Sn,Tn ,则 = (bn≠0,T2n-1≠0). 知识点 3 等差数列前n项和的性质 判断正误,正确的画“√”,错误的画“ ”. 1.某一小组6名同学的年龄(单位:岁)构成首项为15,公差为0的等差数列,则这6名同学的年龄 (单位:岁)之和为90. ( ) 2.有编号分别为1~10的10个盒子,在1号盒子中放1粒米,从2号盒子起,每个盒子都比前一个盒 子多放1粒米,则这10个盒子中共有55粒米. ( ) 3.等差数列的前n项和公式一定是常数项为0的关于n的二次函数. ( ) 4.若数列{an}的前n项和Sn=n2+1,则数列{an}是公差为2的等差数列. ( ) 5.已知Sn是等差数列{an}的前n项和,则S2,S4,S6一定成等差数列. ( ) 知识辨析 √ √ 提示 提示 提示 公差为0时,等差数列的前n项和公式是关于n的一次函数. 等差数列的前n项和公式是关于n且不含常数项的表达式,而题中Sn=n2+1有常数项,所 以{an}不是等差数列. 若Sn是等差数列{an}的前n项和,则S2,S4-S2,S6-S4一定成等差数列,只有当{an}为常数列时, S2,S4,S6才成等差数列. 1.求等差数列的前n项和 (1)已知条件与d有关,则运用公式Sn=na1+ d求其前n项和; (2)已知条件与等差数列的项an有关,则运用公式Sn= 求其前n项和,解题时与等差数列 的性质结合可以起到事半功倍的效果. 2.等差数列问题共涉及五个量:a1,d,n,an及Sn,利用等差数列的通项公式及前n项和公式即可 “知三求二”.其解题通法可以概括为:设出基本量a1,d,构建方程组.因此利用方程思想求出 基本量a1,d是解决等差数列问题的基本途径. 讲解分析 疑难 情境破 疑难 1 等差数列前n项和公式及其应用 在等差数列{an}中,Sn为其前n项和. (1)若a5+a10=58,a4+a9=50,求S10; (2)若S7=42,Sn=510,an-3=45,求n的值. 典例 解析 (1)设等差数列{an}的公差为d. 解法一:由已知得 解得 ∴S10=10a1+ d=10×3+ ×4=210. 解法二:由已知得 ∴d=4,∴a1+a10=42, ∴S10= =5×42=210. (2)∵S7= =7a4=42,∴a4=6. ∴Sn= = = =510, ∴n=20. 在解决与等差数列前n项和Sn的性质有关的问题时,恰当运用相关性质可以达到化繁为 简、化难为易、事半功倍的效果. 利用性质解决等差数列前n项和运算有以下两种思维方法: (1)整体思想:利用公式Sn= ,设法求出“整体”,即a1+an,再代入求解. (2)待定系数法:当公差不为0时,利用Sn是关于n的二次函数,设Sn=An2+Bn(A≠0),列方程组求出 A,B的值即可;也可以利用 是关于n的一次函数,设 =an+b(a≠0)进行计算. 疑难 2 等差数列前n项和性质的应用 讲解分析 在等差数列{an}中,设其前n项和为Sn. (1)已知a4=2,求S7; (2)已知S5=3,S10=7,求S15; (3)已知S10=100,S100=10,求S110. 典例 解析 (1)S7= ×7×(a1+a7)= ×7×2a4=7a4=7×2=14. (2)易知数列S5,S10-S5,S15-S10成等差数列,即3,7-3,S15-7成等差 ... ...
