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课件网) 5.3 导数在研究函数中的应用 知识点 函数的单调性与导数的关系 5.3.1 函数的单调性 必备知识 清单破 1.函数f(x)的单调性与导函数f'(x)的正负的关系 在某个区间(a,b)内,如果f'(x)>0,那么函数y=f(x)在区间(a,b)内单调递增;在某个区间(a,b) 内,如果f'(x)<0,那么函数y=f(x)在区间(a,b)内单调递减. 特别地,如果在区间(a,b)内恒有f'(x)=0,那么函数y=f(x)在这个区间内是常数函数. 2.一般地,如果一个函数在某一范围内导数的绝对值较大,那么函数在这个范围内变化得较 快,这时函数的图象就比较“陡峭”(向上或向下);反之,函数在这个范围内变化得较慢,函数 的图象就比较“平缓”. 知识辨析 1.若函数f(x)在定义域上都有f'(x)<0,则函数f(x)在定义域上一定单调递减吗 2.“在某个区间上f'(x)>0”是“f(x)在此区间上单调递增”的什么条件 3.由f '(x)>0或f '(x)<0能求得f(x)的单调区间,所以函数f(x)的单调区间只能写成开区间,这种说 法对吗 4.“函数的单调区间是(a,b)”和“函数在(a,b)上单调”说法是一致的吗 5.函数在某个区间上变化得越快,函数在这个区间上导数就越大吗 一语破的 1.不一定.如f(x)= ,可知f'(x)=- <0,但f(x)在定义域上不单调递减. 2.充分不必要条件.在该区间的个别点(如区间端点)处f'(x)=0不会影响f(x)在该区间上的单调性. 3.不对.若函数在单调区间的端点处有意义,则区间写成开区间或闭区间都可以,若无意义,则 只能写成开区间. 4.不一致.函数的单调区间是函数单调的完整区间,而在某区间上单调时,这个区间可以是函 数单调区间的一个子区间. 5.不是.函数在某个区间上变化得越快,函数在这个区间上导数的绝对值就越大. 关键能力 定点破 定点 1 导函数与原函数图象的关系 导函数的正负决定了原函数图象的变化,遵循“符号为正,图象上升;符号为负,图象下 降”的原则.导函数图象在x轴的上方或下方,确定导函数的正或负,即原函数的单调递增或递 减.解决问题时,一定要分清是原函数图象还是导函数图象. 典例 已知y=xf'(x)的图象如图所示(其中f'(x)是函数f(x)的导函数),则所给四个选项中,y=f(x) 的图象大致是 ( ) C 解析 当0
1时,xf'(x)>0,∴f'(x)>0,∴f(x)在(1,+∞)上单调递增,∴D错误.故选C. 1.利用导数判断函数的单调性的步骤 (1)确定函数y=f(x)的定义域; (2)求函数y=f(x)的导数f '(x)(化简); (3)结合定义域求出导数f'(x)的零点; (4)用f'(x)的零点将f(x)的定义域划分为若干个区间,列表给出f'(x)在各区间上的正负,由此得出 函数y=f(x)在定义域内的单调性. 2.含参函数的单调性问题 解决含有参数的函数的单调性问题,要考虑到参数对单调性的影响,必要时要进行分类讨论, 主要考虑:①含参数的方程f'(x)=0是否有根;②方程f'(x)=0的根是否在定义域内;③方程f'(x)=0 的不同根的大小. 定点 2 利用导数研究函数的单调性 典例 已知函数f(x)= x2- x+ln x,讨论函数f(x)的单调性. 解析 由题意得f(x)的定义域为(0,+∞), f '(x)=x- + = = . ①若a<0,则f '(x)>0恒成立, f(x)在(0,+∞)上单调递增. ②若0 时, f '(x)>0, f(x)单调递增; 当a1,则当0a时, f '(x)>0, f(x)单调递增; 当 1时,函数f(x)在 和(a,+∞)上单调递增,在 上单调递减. 已知f(x)在区间(a,b)上的单调性,求参数的值(范围)的两个基本思 ... ... 