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课件网) 知识点 1 离散型随机变量的均值 知识 清单破 4.2.4 随机变量的数字特征 1.概念 一般地,如果离散型随机变量X的分布列如表所示. X x1 x2 … xk … xn P p1 p2 … pk … pn 则称E(X)=x1p1+x2p2+…+xnpn= xipi为离散型随机变量X的均值或数学期望(简称为期望). 离散型随机变量的均值刻画了随机变量的平均取值. 2.性质 若X与Y都是随机变量,且Y=aX+b(a≠0),则E(Y)=E(aX+b)=aE(X)+b. 3.几个常见分布的均值的计算公式 (1)若随机变量X服从参数为p的两点分布,则E(X)=p. (2)若随机变量X服从参数为n,p的二项分布,即X~B(n,p),则E(X)=np. (3)若随机变量X服从参数为N,n,M的超几何分布,即X~H(N,n,M),则E(X)= . 知识点 2 离散型随机变量的方差 1.概念 如果离散型随机变量X的分布列如下表所示. X x1 x2 … xk … xn P p1 p2 … pk … pn 则称D(X)=[x1-E(X)]2p1+[x2-E(X)]2p2+…+[xn-E(X)]2pn= [xi-E(X)]2pi为离散型随机变量X的 方差, 称为离散型随机变量X的标准差. 离散型随机变量的方差和标准差刻画了随机变量的离散程度(或波动大小). 知识拓展 D(X)= [xi-E(X)]2pi= pi-[E(X)]2=E(X2)-[E(X)]2.简记为“方差等于平方的均值减去均值的平 方”. 2.性质 若X与Y都是离散型随机变量,且Y=aX+b(a≠0),则D(Y)=D(aX+b)=a2D(X). 3.几个常见分布的方差的计算公式 (1)若随机变量X服从参数为p的两点分布,则D(X)=p(1-p). (2)若随机变量X服从参数为n,p的二项分布,即X~B(n,p),则D(X)=np(1-p). 知识拓展 若X服从参数为N,n,M的超几何分布,即X~H(N,n,M),则D(X)= . 知识辨析 判断正误,正确的画“√”,错误的画“ ”. 1.随机变量的均值与样本的平均值相同. ( ) 2.若随机变量X的均值E(X)=2,则E(2X)=4. ( ) 3.随机变量的方差越大,随机变量越稳定. ( ) 4.随机变量的方差即总体方差,它是一个常数.( ) 5.D(X+2)=D(X)+2. ( ) 随机变量的均值是一个常数,而样本的平均值依赖于样本的选择,是一个随机变量. 提示 √ √ 讲解分析 疑难 1 求离散型随机变量的均值、方差(标准差) 疑难 情境破 1.求离散型随机变量的均值与方差(标准差)时,一般先分析随机变量的分布特征,看其是不是 常见的特殊分布,若是,直接用公式求解;若不是,按求均值与方差(标准差)的一般步骤求解. 2.已知随机变量ξ的均值、方差,求ξ的一次函数η=aξ+b(a≠0)的均值、方差,可直接用随机变 量的均值、方差的性质求解. 典例 (1)(多选)已知随机变量X的分布列为P(X=k)=0.2,k=1,2,3,4,5.若Y=2X-3,则下列说法正确 的是 ( ) A.随机变量X的均值为3 B.随机变量Y的均值为3 C.随机变量X的方差为2 D.随机变量Y的方差为9 (2)随机变量ξ的概率分布如下表所示, ABC ξ -1 0 1 P a c 若E(ξ)= ,则D(ξ)= . 解析 (1)由P(X=k)=0.2,k=1,2,3,4,5可知,P(X=1)=0.2,P(X=2)=0.2,P(X=3)=0.2,P(X=4)=0.2,P(X= 5)=0.2, 故E(X)=1×0.2+2×0.2+3×0.2+4×0.2+5×0.2=3,故A正确; E(Y)=E(2X-3)=2E(X)-3=2×3-3=3,故B正确; D(X)=(1-3)2×0.2+(2-3)2×0.2+(3-3)2×0.2+(4-3)2×0.2+(5-3)2×0.2=2,故C正确; D(Y)=D(2X-3)=22D(X)=8,故D错误. 故选ABC. (2)由题意可得 解得 因此,D(ξ)= × + × + × = . 利用均值与方差的意义解决实际问题的一般步骤 (1)比较均值.离散型随机变量的均值反映了离散型随机变量取值的平均水平,因此,在实际决 策问题中,通过比较均值,可分析谁的平均水平较高. (2)在均值相等或相近的情况下比较方差.方差反映了离散型随机变量取值的稳定与波动、 集中与离散的程度.因此,通过比较方差,可分析谁的水平发挥相对稳定. (3)下结论.依据均值、方差的实际意义下结论. 讲解分析 疑难 2 均值与方差在实际问题中的应 ... ...
