( 密 ○ 封 ○ 装 ○ 订 ○ 线 密 ○ 封 ○ 装 ○ 订 ○ 线 密 封 线 内 不 要 答 题 ) ( 姓名 班级 考号 密 ○ 封 ○ 装 ○ 订 ○ 线 密 ○ 封 ○ 装 ○ 订 ○ 线 密 封 线 内 不 要 答 题 ) 第6章 空间向量与立体几何 全卷满分150分 考试用时120分钟 一、单项选择题(本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的) 1.已知直线m的方向向量为a=(1,-2,1),平面α的法向量为b=(x,8,y),若m∥α,则x+y=( ) A.10 B.12 C.14 D.16 2.已知平面α的一个法向量为n=(-2,-2,1),点A(-1,3,0)在平面α内,则点P(-2,1,4)到平面α的距离为( ) A.10 B.3 C. 3.在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是正方形,AB=1,AP=2,PA⊥平面ABCD,动点M,N分别在线段BD和PC上,则线段MN长度的最小值为( ) A. 4.如图,某圆锥SO的轴截面SAC是等边三角形,B是底面圆周上一点,且∠BOC=60°,M是SA的中点,则异面直线AB与CM所成角的余弦值是( ) A. 5.中国元代数学家郭守敬主持建造的观星台(如图①)可近似看成一个正四棱台ABCD-A1B1C1D1(如图②),若AB=2A1B1,点M在BD1上,且BM=3D1M,则=( ) A. C. 6.在三棱锥P-ABC中,底面ABC是边长为2的正三角形,若三棱锥P-ABC的体积为,则的最小值为( ) A.8 B.9 C.10 D.18 7.如图,在四棱锥S-ABCD中,底面ABCD是边长为2的正方形,SA⊥平面ABCD,P为底面ABCD内的一个动点,若=1,则动点P在( ) A.圆上 B.双曲线上 C.抛物线上 D.椭圆上 8.在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=AD=2,AA1=1,O是AC的中点,点P在线段A1C1上,若直线OP与平面ACD1的夹角为θ,则cosθ的取值范围是( ) A. C. 二、多项选择题(本题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求,全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分) 9.下列关于空间向量的命题中正确的有( ) A.若a·b>0,则a,b的夹角是锐角 B.若{}是空间的一个基底,且,则A,B,C,D四点共面 C.若直线l的方向向量与平面α的法向量的夹角等于130°,则直线l与平面α所成的角等于50° D.若向量p=mx+ny+kz(x,y,z都是不共线的非零向量),则称p在基底{x,y,z}下的坐标为(m,n,k),若p在单位正交基底{a,b,c}下的坐标为(1,2,3),则p在基底{a-b,a+b,c}下的坐标为 10.将正方形ABCD沿对角线BD折成直二面角,则下列结论正确的有( ) A.AD与BC所成的角为30° B.AC与BD所成的角为90° C.BC与平面ACD所成角的正弦值为 D.平面ABC与平面BCD的夹角的正切值是 11.在正方体ABCD-A1B1C1D1中,动点P满足,其中λ∈(0,1),μ∈R,且μ≠0,则( ) A.对任意的λ∈(0,1),μ∈R且μ≠0,都有平面ACP⊥平面A1B1D B.当λ+μ=1时,三棱锥B-A1PD的体积为定值 C.当λ=时,存在点P,使得∠A1PB>90° D.当μ=时,存在点P,使得AP⊥平面PCD 三、填空题(本题共3小题,每小题5分,共15分) 12.已知向量a=(1,3,1),b=(1,1,0),则a在b上的投影向量的坐标为 . 13.在三棱锥P-ABC中,PB=2,∠PAB=∠ABC=30°,PB⊥AB,AC⊥AB,点M,N分别在线段AP,BC上运动.若二面角P-AB-C的大小为60°,则|MN|的最小值为 . 14.在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F,G,H,K,L分别是AB,BB1,B1C1,C1D1,D1D,DA的中点,则直线A1C与平面EFGHKL所成角的大小为 ;若P,Q是六边形EFGHKL边上两个不同的动点,设直线D1B与直线PQ所成的最小角为θ,则sinθ的值为 . 四、解答题(本题共5小题,共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 15.(13分)已知a=(x1,y1,z1),b=(x2,y2,z2),c=(x3,y3,z3),定义一种运算:(a×b)·c=x1y2z3+x2y3z1+x3y1z2-x1y3z2-x2y1z3-x3y2z1.已知四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是平行四 ... ...
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