考 前 必 背 第6章 空间向量与立体几何 一、共线向量、共面向量定理 1.共线向量定理 对空间任意两个向量a,b(a≠0),b与a共线的充要条件是存在实数λ,使b=λa. 2.共面向量定理 (1)如果两个向量a,b不共线,那么向量p与向量a,b共面的充要条件是存在有序实数组(x,y),使得p=xa+yb. (2)已知不共面,若,且x+y+z=1,则P,A,B,C四点共面. 二、空间向量基本定理 1.空间向量基本定理 如果三个向量e1,e2,e3不共面,那么对空间任一向量p,存在唯一的有序实数组(x,y,z),使p=xe1+ye2+ze3. 2.推论 设O,A,B,C是不共面的四点,则对空间任意一点P,都存在唯一的有序实数组(x,y,z),使得. 三、空间向量的坐标运算 1.空间向量的线性运算的坐标表示 设a=(x1,y1,z1),b=(x2,y2,z2). 运算 坐标表示 加法 a+b=(x1+x2,y1+y2,z1+z2) 减法 a-b=(x1-x2,y1-y2,z1-z2) 数乘 λa=(λx1,λy1,λz1)(λ∈R) 数量积 a·b=x1x2+y1y2+z1z2 2.空间向量常用结论的坐标表示 设a=(x1,y1,z1),b=(x2,y2,z2). 结论 坐标表示 向量的模 |a|= 向量的夹 角公式 cos
=(a,b为非零向量) 向量垂直 a⊥b a·b=0 x1x2+y1y2+z1z2=0 向量平行 a∥b(a≠0) b=λa x2=λx1,y2=λy1,z2=λz1(λ∈R) 3.空间两点间的距离公式 若A(x1,y1,z1),B(x2,y2,z2),则|. 四、空间向量的应用 1.设直线l,m的方向向量分别为u,v,平面α,β的法向量分别为n1,n2,则 线线平行 l∥m u∥v u=λv,λ∈R 线面平行 l∥α u⊥n1 u·n1=0 面面平行 α∥β n1∥n2 n1=λn2,λ∈R 线线垂直 l⊥m u⊥v u·v=0 线面垂直 l⊥α u∥n1 u=λn1,λ∈R 面面垂直 α⊥β n1⊥n2 n1·n2=0 线线角 l,m的夹角θ∈ 线面角 l,α的夹角θ∈ 二面角 α,β所成的角θ∈[0,π],|cos θ|= 2.空间距离的计算 (1)点到平面的距离:P是平面α外一点,PO⊥α,垂足为O,A为平面α内任意一点,设n为平面α的法向量,则点P到平面α的距离d=. (2)点到直线的距离:(i)P为直线l外一点,A是l上任意一点,在点P和直线l所确定的平面内,取一个与直线l垂直的向量n,则点P到直线l的距离d=;(ii)P是直线l外一点,PO⊥l,O为垂足,A是l上任意一点,设e是直线l的方向向量,记φ=<,e>,则cos φ=,故点P到直线l的距离d=||sin φ. 第7章 计数原理 一、两个基本计数原理 1.分类计数原理:N=m1+m2+…+mn. 2.分步计数原理:N=m1×m2×…×mn. 二、排列与组合 1.排列数公式:=n(n-1)(n-2)…(n-m+1)=. 2.组合数公式:. 3.解决排列、组合问题的常用方法 (1)合理分类,准确分布;(2)特殊优先,一般在后;(3)先取后排,间接排除;(4)相邻捆绑,间隔插空;(5)抽象问题,构造模型;(6)均分除序,定序除序. 三、二项式定理 1.二项式定理:(a+b)n=an-1b+…+an-rbr+…+bn(n∈N*). 2.通项:Tr+1=an-rbr. 3.二项式系数的性质 (1); (2); (3)当r<时,;当r>时,,即当n为偶数时,二项式系数中最大;当n为奇数时,二项式系数中相等且最大; (4)(a+b)n的展开式的各二项式系数的和等于2n,即+…++…+=2n; (5)二项展开式中,偶数项的二项式系数的和等于奇数项的二项式系数的和,即+…=+…=2n-1. 第8章 概率 一、条件概率 1.条件概率公式 设A,B为两个事件,P(A)>0,则A发生的条件下B发生的概率为P(B|A)=. 2.条件概率的性质 (1)P(A|A)=1; (2)P( |A)=0; (3)若A B,则P(B|A)=1; (4)若B1,B2互斥,则P((B1+B2)|A)=P(B1|A)+P(B2|A). 3.乘法公式 P(AB)=P(B|A)P(A). 4.全概率公式 一般地,若事件A1,A2,…,An两两互斥,且它们的和Ai=Ω,P(Ai)>0,i=1,2,…,n,则对于Ω中的任意事件B,有P(B)=P(Ai)P(B|Ai). 5.贝叶斯公式 一般地,若事件A1,A2,…,An两两互斥,且A1∪A2∪…∪An=Ω,P(Ai)>0,i=1,2,…,n,则对于Ω中的任意事件B,P(B)>0,有P(Ai|B)=. 二、离散型随机变量及其分布列 1.离散型随机变量的分布列、期望与方差 名称 表现形式(或公式) 性质 概率分 ... ... 
