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课件网) 1.3 导数在研究函数中的应用 1.3.1 函数的单调性与导数 1.函数f(x)的单调性与其导数f'(x)的正负的关系 若在区间(a,b)内,f ' (x)>0,则函数f(x)在此区间内单调递增,(a,b)为f(x)的单调递增区间; 若在区间(a,b)内,f ' (x)<0,则函数f(x)在此区间内单调递减,(a,b)为f(x)的单调递减区间. 特别地,如果在区间(a,b)上恒有f '(x)=0,那么函数f(x)在这个区间上是常数函数. 2.一般地,如果一个函数在某一范围内的导数的绝对值较大,那么函数在这个范围 内变化得较快,这时函数的图象就比较“陡峭”(向上或向下);反之,函数在这个 范围内变化得较慢,函数的图象就比较“平缓”. 函数的单调性与导数的关系 1.已知函数f(x),若在定义域上都有其导数f '(x)<0,则函数f(x)在定义域上一定单调 递减吗 不一定.如函数f(x)= ,在定义域上都有f'(x)=- <0,但f(x)在其定义域上不是单调 函数. 2.“在某个区间上f '(x)>0”是“f(x)是此区间上的增函数”的充要条件吗 不是.在某个区间上的个别点处满足f'(x)=0不会影响f(x)在该区间上的单调性,故 为充分不必要条件. 3.函数y= 的单调递减区间可以写成(-∞,0)∪(0,+∞)吗 不可以.函数y= 的单调区间不能用“∪”连接,可用“,”或“和”连接. 知识辨析 4.对于函数y=f(x),其图象变化得越快,则其导函数f'(x)的值越大,对吗 不对.函数y=f(x)的图象变化得越快,其导函数f'(x)的绝对值越大. 5.“函数的单调区间是(a,b)”和“函数在(a,b)上单调”说法是一致的吗 不一致.函数的单调区间是函数单调的完整区间,而函数在某区间上单调时,这个 区间可以是函数单调区间的一个子区间. 1.导函数的正负决定了原函数图象的变化,遵循“符号为正,图象上升;符号为负, 图象下降”的原则.根据导函数图象在x轴的上方或下方,确定导函数的正或负.解 决问题时,一定要分清是原函数图象还是导函数图象. 2.由函数f(x)的图象判断其导函数f'(x)的图象,其思维方式是利用函数f(x)的图象 得到函数的单调性,进而得到函数f'(x)的正负;由f'(x)的图象判断f(x)的图象,其思维 方式是利用函数f'(x)的正负来确定原函数f(x)的单调性. 1 导数与原函数图象间的关系 典例 已知函数f(x)的图象如图所示,则f(x)的导函数f'(x)的图象大致是 ( ) 解析 由题中函数f(x)的图象可知,函数f(x)在(-∞,0)上先单调递减,然后单调递增, 再单调递减,在(0,+∞)上单调递增,则其导函数在(-∞,0)上,从左往右先小于零,然 后大于零,再小于零,在(0,+∞)上大于零,排除A,B,C,故选D. 答案 D 1.利用导数判断函数的单调性的步骤 (1)求函数f(x)的导数f'(x); (2)结合定义域求出导数f'(x)的零点; (3)用f'(x)的零点将f(x)的定义域划分为若干个区间,分析f'(x)在各区间上的正负,由 此得出函数 f(x)在定义域内的单调性. 2.含参数的函数的单调性问题 解决含有参数的函数的单调性问题,要考虑参数对单调性的影响,必要时要进行 分类讨论,主要考虑:①含参数的方程f'(x)=0是否有根;②方程f'(x)=0的根是否在定 义域内;③方程f'(x)=0的不同根的大小. 2 利用导数研究函数的单调性 典例 已知函数f(x)= ax2-(2a+1)x+2ln x(a∈R). (1)若曲线y=f(x)在x=1和x=3处的切线互相平行,求a的值; (2)求f(x)的单调区间. 思路点拨 (1)求f'(x) 根据题意得f'(1)=f'(3) 解方程求出a. (2)对f'(x)变形 分类讨论 确定f'(x)的符号 结合定义域求出单调区间. 解析 (1)由题意知f '(x)=ax-(2a+1)+ (x>0).∵曲线y=f(x)在x=1和x=3处的切线互 相平行,∴f '(1)=f '(3),即a-(2a+1)+2=3a-(2a+1)+ ,解得a= . (2)由(1)知f '(x)= (x>0). ①当a≤0时,∵x>0,∴ax-1<0, ∴在区间(0,2)上, f'(x)>0;在区间(2,+∞)上,f '(x)<0. 故f(x)的单调递增区间是(0,2),单调递减区间是(2,+∞). ②当0
