专题强化练5 空间向量与立体几何的综合应用-《精讲精练》26版高中同步新教材数学湘教版（2019）选择性必修第二册

第2章　空间向量与立体几何 专题强化练5　空间向量与立体几何的综合应用 40分钟 1.如图,在四棱锥E-ABCD中,平面ADE⊥平面ABCD,O,M分别为线段AD,DE的中点,四边形BCDO是边长为1的正方形,AE=DE,AE⊥DE. (1)求证:CM∥平面ABE; (2)求直线CM与BD所成角的余弦值; (3)点N在直线AD上,若平面BMN⊥平面ABE,求线段AN的长. 2.如图①,在四边形ABCD中,AD∥BC,AD=2AB=2BC=2CD=4,E是AD的中点,将△ABE沿BE折起至△A'BE的位置,使得二面角A'-BE-C的大小为120°(如图②),M,N分别是A'D,BC的中点. (1)证明:MN∥平面A'BE; (2)求平面A'BD与平面BDC夹角的余弦值. 3.如图,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,AA1=AB=AC=1,AB⊥AC,M,N分别是棱 CC1,BC的中点,点P在线段A1B1上. (1)当直线PN与平面A1B1C1所成的角最大时,求线段A1P的长度; (2)是否存在一点P,使平面PMN与平面AC1C所成的角的余弦值为 若存在,试确定点P的位置,若不存在,说明理由. 4.如图所示,正方形ABCD和矩形ADEF所在的平面互相垂直,动点P在线段EF(包含端点E,F)上,M,N分别为AB,BC的中点,AB=2DE=2. (1)若P为EF的中点,求点N到平面PDM的距离; (2)设平面PDM与平面ABCD所成的角为θ,求cos θ的最大值及此时点P的位置. 答案与分层梯度式解析 第2章　空间向量与立体几何 专题强化练5 空间向量与立体几何的综合应用 1.解析　(1)证明:取AE的中点P,连接BP,MP,如图所示. ∵M,P分别为ED,AE的中点,∴PM∥AD,且PM=AD. ∵四边形BCDO是边长为1的正方形, ∴BC∥OD,且BC=OD, 又∵O为AD的中点,∴BC∥AD,且BC=AD, ∴PM∥BC,且PM=BC, ∴四边形BCMP为平行四边形,∴CM∥PB, 又∵CM 平面ABE,PB 平面ABE, ∴CM∥平面ABE. (2)连接EO,∵AE=DE,O为AD的中点, ∴EO⊥AD. ∵EO 平面ADE,且平面ADE⊥平面ABCD,平面ADE∩平面ABCD=AD, ∴EO⊥平面ABCD. 又∵OB 平面ABCD,OD 平面ABCD, ∴EO⊥OB,EO⊥OD, 以O为原点,OB,OD,OE所在直线分别为x轴、y轴、z轴,1为单位长度,建立空间直角坐标系,如图所示, 则C(1,1,0),M,B(1,0,0),D(0,1,0), ∴=,=(-1,1,0). 设直线CM与BD所成的角为θ,则cos θ===, ∴直线CM与BD所成角的余弦值为. (3)设=λ,则N(0,λ,0), ∴=(1,-λ,0),易得=,设平面BMN的法向量为n=(a,b,c), 则即 令a=λ,则b=1,c=2λ-1, ∴n=(λ,1,2λ-1)为平面BMN的一个法向量,同理可求得平面ABE的一个法向量为m=(1,-1,1). ∵平面BMN⊥平面ABE,∴m·n=0,即λ-1+2λ-1=0,解得λ=,∴AN=. 2.解析　(1)证明:取ED的中点P,连接MP,NP,如图所示: 在四边形ABCD中,因为E是AD的中点,AD=2BC,所以ED=BC, 又因为AD∥BC,所以四边形BCDE是平行四边形, 因为M,N,P分别是A'D,BC,ED的中点,所以MP∥A'E,NP∥BE. 又因为MP 平面A'BE,NP 平面A'BE,A'E∩BE=E,A'E,BE 平面A'BE,所以MP∥平面A'BE,NP∥平面A'BE. 因为MP 平面MNP,NP 平面MNP,MP∩NP=P,所以平面MNP∥平面A'BE. 又因为MN 平面MNP,所以MN∥平面A'BE. (2)取BE的中点O,连接A'O,CO,CE. 在题图①中,因为AD=2AB=2BC=2CD,E为AD的中点,所以△ABE是等边三角形,∠A=60°, 易知四边形ABCD是等腰梯形,所以∠D=60°,所以△BEC 是等边三角形, 所以A'O⊥BE,CO⊥BE,所以∠A'OC=120°. 以O为原点,建立如图所示的空间直角坐标系O-xyz, 则B(1,0,0),D(-2,,0),A', 则=,=(-3,,0). 设平面A'BD的法向量为m=(x,y,z),则m·=0,m·=0, 得 令x=1,则y=,z=,则m=是平面A'BD的一个法向量, 易知平面BDC的一个法向量为n=(0,0,1), 所以cos==. 故平面A'BD与平面BDC夹角的余弦值为. 解后反思 (1)求解本题要注意两点:一是两平面的法向量的夹角不一定是所求的两个平面的夹角;二是利用方程思想进行向量运算时,要认真细心,准确计算. (2)设m,n分别为平面α,β的法向量,则两个平面的夹角θ与互补或相等,故有cos θ=|cos|=. 3.解析　(1)直线PN与平面A1B1C1所 ... ...