第2章 空间向量与立体几何 综合拔高练 高考真题练 考点1 用空间向量解决空间角的有关问题 1.(2021新高考Ⅰ,20)如图,在三棱锥A-BCD中,平面ABD⊥平面BCD,AB=AD,O为BD的中点. (1)证明:OA⊥CD; (2)若△OCD是边长为1的等边三角形,点E在棱AD上,DE=2EA,且二面角E-BC-D的大小为45°,求三棱锥A-BCD的体积. 2.(2021新高考Ⅱ,19) 在四棱锥Q-ABCD中,底面ABCD是正方形,若AD=2,QD=QA=,QC=3. (1)证明:平面QAD⊥平面ABCD; (2)求二面角B-QD-A的余弦值. 3.(2021天津,17)如图,在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中,E为棱BC的中点,F为棱CD的中点. (1)求证:D1F∥平面A1EC1; (2)求直线AC1与平面A1EC1所成角的正弦值; (3)求二面角A-A1C1-E的正弦值. 4.(2020新高考Ⅰ,20)如图,四棱锥P-ABCD的底面为正方形,PD⊥底面ABCD.设平面PAD与平面PBC的交线为l. (1)证明:l⊥平面PDC; (2)已知PD=AD=1,Q为l上的点,求PB与平面QCD所成角的正弦值的最大值. 考点2 用空间向量解决与空间距离有关的问题 5.(2019课标全国Ⅰ,19)如图,直四棱柱ABCD-A1B1C1D1的底面是菱形,AA1=4,AB=2,∠BAD=60°,E,M,N分别是BC,BB1,A1D的中点. (1)证明:MN∥平面C1DE; (2)求点C到平面C1DE的距离. 考点3 用空间向量解决探索性问题 6.(2021全国甲理,19)已知直三棱柱ABC-A1B1C1中,侧面AA1B1B为正方形,AB=BC=2,E,F分别为AC和CC1的中点,D为棱A1B1上的点,BF⊥A1B1. (1)证明:BF⊥DE; (2)当B1D为何值时,面BB1C1C与面DFE所成的二面角的正弦值最小 7.(2019北京,16)如图,在四棱锥P-ABCD中,PA⊥平面ABCD,AD⊥CD,AD∥BC,PA=AD=CD=2,BC=3.E为PD的中点,点F在PC上,且=. (1)求证:CD⊥平面PAD; (2)求二面角F-AE-P的余弦值; (3)设点G在PB上,且=.判断直线AG是否在平面AEF内,说明理由. 高考模拟练 应用实践 1.如图,在多面体ABCDEF中,四边形ACDE是正方形,DF∥BC,AB⊥AC,AE⊥平面ABC,AB=AC=2,EF=DF=. (1)求证:平面BCDF⊥平面BEF; (2)求二面角A-BF-E的余弦值. 2.如图,在三棱柱ABC-A1B1C1中,△ABC为等边三角形,侧面ACC1A1为菱形,∠A1AC=60°,且侧面ACC1A1⊥底面ABC,点D为CC1的中点,点E为直线A1D与平面ABC的交点. (1)试确定点E的位置,并证明BE∥平面AB1D; (2)求直线AB与平面AB1D所成角的正弦值. 3.如图,圆柱的轴截面ABCD是正方形,点E在底面圆周上,AF⊥DE,F为垂足. (1)求证:AF⊥DB; (2)当直线DE与平面ABE所成角的正切值为2时,求: ①二面角E-DC-B的余弦值; ②点B到平面CDE的距离. 迁移创新 4.已知某旅游景点有座名山,其高约为16(单位:百米),从山顶看正东方向入口(东门)的俯角约为60°,看正南方向入口(南门)的俯角约为45°,每个入口都有一条山路直通山顶,为方便游客游览,景区计划修建一条从南门至东线山路中点的缆车索道.(东门与南门在同一水平面上) (1)求该索道的长度; (2)求该索道与地面所成角的余弦值. 答案与分层梯度式解析 第2章 空间向量与立体几何 综合拔高练 高考真题练 1.解析 (1)证明:在△ABD中,因为AB=AD,O为BD的中点,所以AO⊥BD, 又因为平面ABD⊥平面BCD,平面ABD∩平面BCD=BD,AO 平面ABD, 所以AO⊥平面BCD,又因为CD 平面BCD, 所以AO⊥CD. (2)取OD的中点F,连接CF,因为△OCD为等边三角形,所以CF⊥OD, 过O作OM∥CF,与BC交于点M,则OM⊥OD, 又因为AO⊥平面BCD,OM 平面BCD,所以AO⊥OM, 所以OM,OD,OA两两垂直, 以O为坐标原点,OM,OD,OA所在直线分别为x轴、y轴、z轴,1为单位长度,建立空间直角坐标系,如图所示, 则O(0,0,0),B(0,-1,0),C,D(0,1,0), 设A(0,0,t),t>0,则E, 因为OA⊥平面BCD,所以平面BCD的一个法向量为=(0,0,t), 设平面BCE的法向量为n=(x,y,z), 又因为=,=, 所以由得 令x=,则y=-1,z=,故n=为平面BCE的一个法向量, 因为二面角E-BC-D的大小为45° ... ...
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