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课件网) 北师大版 数学 选择性必修第一册 课标定位 素养阐释 1.掌握双曲线的范围、对称性、中心、顶点、轴、渐近线、离心率等几何性质,能够应用双曲线的标准方程研究双曲线的几何性质.通过学习双曲线的几何性质,培养直观想象、数学运算等素养. 2.掌握根据双曲线的几何性质解决有关问题的方法.借助双曲线几何性质的应用,提升直观想象及数学运算、逻辑推理等素养. 自主预习 新知导学 一、双曲线的几何性质 【问题思考】 1.类比椭圆的几何性质,结合图象(图略),思考以下问题: (1)从图象上可以看出双曲线是向两端无限延伸的,那么它是否与椭圆一样有范围限制 (2)观察双曲线,它是不是轴对称图形 对称轴是哪条直线 是不是中心对称图形 对称中心是哪个点 提示:关于x轴、y轴和原点都是对称的,x轴、y轴是双曲线的对称轴,原点是对称中心,又叫作双曲线的中心. (3)双曲线的顶点就是双曲线与坐标轴的交点,这种说法对吗 为什么 提示:不对,双曲线的顶点是双曲线与其对称轴的交点,只有在标准形式下,坐标轴才是双曲线的对称轴,此时双曲线与坐标轴的交点是双曲线的顶点. 2.双曲线的几何性质 表2-2-1 3.中心在原点,实轴长为10,虚轴长为6的双曲线的标准方程是( ). 答案:B 二、双曲线的离心率 【问题思考】 1.(1)如何用a,b表示双曲线的离心率 (2)椭圆的离心率反映了椭圆的扁圆程度.那么,双曲线的离心率与开口大小有关系吗 怎样反映这种关系 答案:C 三、双曲线的渐近线 【问题思考】 1.(1)双曲线的两支在向外无限延伸的过程中会不会与它的渐近线相交 提示:双曲线与它的渐近线无限接近,但永不相交. (2)渐近线相同的双曲线是同一条双曲线吗 提示:渐近线相同的双曲线有无数条,不一定是同一条双曲线,但它们实轴长与虚轴长的比值相同. (3)双曲线的离心率和渐近线的斜率有怎样的关系 答案:C 【思考辨析】 判断下列说法是否正确,正确的在它后面的括号里画“√”,错误的画“×”. (1)椭圆的离心率与双曲线的离心率取值范围相同.( ) (2)双曲线有四个顶点,分别是双曲线与其实轴及虚轴的交点.( ) × × × √ 合作探究 释疑解惑 探究一 利用双曲线的标准方程研究其几何性质 【例1】 求双曲线9x2-16y2+144=0的实半轴长、虚半轴长、焦点坐标、离心率和渐近线方程,并大致画出这个双曲线. 答图2-2-1 利用双曲线的方程研究其几何性质的解题步骤 (1)先把双曲线方程化为标准形式. (2)由标准方程确定焦点位置,确定a,b的值. (3)由c2=a2+b2求出c的值,从而写出双曲线的几何性质. 注意:求性质时一定要注意焦点的位置. 【变式训练1】 求双曲线9y2-4x2=-36的顶点坐标、焦点坐标、实轴长、虚轴长、离心率和渐近线方程. 探究二 根据几何性质求双曲线标准方程 【例2】 分别求出适合下列条件的双曲线的标准方程: 1.求双曲线的标准方程的方法 (1)解决此类问题的常用方法是先定型(焦点在哪条轴上),再定量(确定a2,b2的值).要特别注意a2+b2=c2的应用,并注意不要与椭圆中的关系相混淆. (2)如果已知双曲线的方程为标准方程,但不知焦点所处的位置,也可把双曲线方程设为mx2-ny2=1(m,n同号),然后由条件求m,n. 2.巧设双曲线方程的六种方法与技巧 【变式训练2】 求满足下列条件的双曲线的标准方程: (1)以直线2x±3y=0为渐近线,经过点(1,2); 探究三 求双曲线的渐近线或离心率 【例3】 如图如图2-2-2,已知F1,F2为双曲线 (a>0,b>0)的焦点,过F2作垂直于x轴的直线交双曲线于点P,且∠PF1F2=30°,求双曲线的渐近线方程. 图2-2-2 分析:由于PF2⊥x轴,因而可先求得点P的纵坐标,即可知|PF2|的值,再结合△PF1F2为直角三角形及双曲线的定义,求得a,b间的关系,进而求得渐近线的斜率. 若本例条件不变,求此双曲线的离心率. 1.求双曲线渐近线方 ... ...
