(
课件网) 北师大版 数学 选择性必修第一册 课标定位 素养阐释 1.理解并掌握双曲线的定义,了解双曲线的焦点、焦距. 2.掌握双曲线的标准方程及其推导过程,能利用定义求标准方程及分析解决有关问题,培养学生的数学抽象、直观想象素养. 3.进一步体会用待定系数法求轨迹方程及分类讨论、数形结合的数学思想方法的运用. 自主预习 新知导学 一、双曲线的定义 【问题思考】 1.如图2-2-1,观察下图,思考问题: (1)在点M移动的过程中,||MF1|-|MF2||的值发生变化吗 提示:不变. (2)动点M的轨迹是什么 提示:双曲线. (3)双曲线的定义中强调平面内动点到两定点的距离差的绝对值为常数,若没有绝对值,则动点的轨迹是什么 提示:双曲线的一支. 图2-2-1 (4)在双曲线的定义中,必须要求“常数大于零且小于|F1F2|”,那么“常数等于|F1F2|”“常数大于|F1F2|”和“常数为0”时,动点的轨迹分别是什么 提示:①如果定义中常数等于|F1F2|,此时动点的轨迹是以F1或F2为端点的两条射线(包括端点). ②如果定义中常数大于|F1F2|,此时动点轨迹不存在. ③如果定义中常数为0,此时动点轨迹为线段F1F2的垂直平分线. 2.平面内到两个定点F1,F2的距离之 差的绝对值 等于常数(大于零且小于|F1F2|)的点的集合(或轨迹)叫作双曲线.这 两个定点F1,F2 叫作双曲线的焦点, 两个焦点间的距离|F1F2| 叫作双曲线的焦距. 3.已知两个定点F1(-3,0),F2(3,0),平面内动点P满足下列条件的轨迹,是双曲线的是( ). A.||PF1|-|PF2||=5 B.||PF1|-|PF2||=6 C.||PF1|-|PF2||=7 D.||PF1|-|PF2||=0 解析:A中,∵|F1F2|=6,∴||PF1|-|PF2||=5<|F1F2|,故动点P的轨迹是双曲线; B中,∵||PF1|-|PF2||=6=|F1F2|, ∴动点P的轨迹是以F1或F2为端点的射线(含端点); C中,∵||PF1|-|PF2||=7>|F1F2|, ∴动点P的轨迹不存在; D中,∵||PF1|-|PF2||=0,即|PF1|=|PF2|,根据线段垂直平分线的性质,动点P的轨迹是线段F1F2的垂直平分线.故选A. 答案:A 二、双曲线的标准方程 【问题思考】 1.(1)以直线F1F2为x轴,线段F1F2的垂直平分线为y轴,建立平面直角坐标系,类比椭圆标准方程的推导过程,思考怎样求双曲线的标准方程. 提示:设M(x,y)是双曲线上任意一点,F1(-c,0),F2(c,0)(c>0),由||MF1|-|MF2|| =2a(a>0),可得(c2-a2)x2-a2y2=a2(c2-a2). 提示:若x2的系数为正,则焦点在x轴上;若y2的系数为正,则焦点在y轴上. (3)椭圆标准方程和双曲线标准方程中的a,b,c之间的关系有什么区别 提示:在椭圆中a2=b2+c2,在双曲线中c2=a2+b2. 3.已知点F1(-4,0),F2(4,0),曲线上的动点P到F1,F2的距离之差为6,则曲线方程为( ). 答案:A 【思考辨析】 判断下列说法是否正确,正确的在它后面的括号里画“√”,错误的画“×”. (1)平面内到两定点距离的差的绝对值等于常数的点的轨迹是双曲线. ( ) (2)平面内到两定点F1,F2的距离之差等于常数(大于零且小于|F1F2|)的点的轨迹是双曲线.( ) × × √ × 合作探究 释疑解惑 探究一 求双曲线的标准方程 用待定系数法求双曲线方程的步骤 【变式训练1】 (1)求以椭圆 的短轴的两个端点为焦点,且经过点A(4,-5)的双曲线的标准方程; (2)已知双曲线经过M(1,1),N(-2,5)两点,求双曲线的标准方程. 探究二 由双曲线的标准方程求参数 【例2】 求适合下列条件的参数的值或取值范围: ②若方程表示焦点在x轴上的双曲线,则1
0,B>0,且A≠B.表示双曲线的充要条件为AB<0,若A>0,B<0,则方程表示焦点在x轴上的双曲线;若A<0,B>0,则方程表示焦点在y轴上的 ... ... 
