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课件网) 北师大版 数学 选择性必修第一册 课程标准 1.能用向量语言表述直线与直线、直线与平面、平面与平面的平行 关系. 2.能用向量方法证明必修内容中有关直线、平面平行关系的判定定理. 3.能用向量方法证明空间中直线、平面的平行关系. 4.能用向量语言表述直线与直线、直线与平面、平面与平面的垂直 关系. 5.能用向量方法证明必修内容中有关直线、平面垂直关系的判定定理. 6.能用向量方法证明空间中直线、平面的垂直关系. 7.会用三垂线定理及逆定理解题. 基础落实·必备知识一遍过 知识点1 空间中的平行与垂直 设向量l,m分别是直线l,m的方向向量,n1,n2分别是平面α,β的法向量,则 l∥m或l与m重合 l∥m;l∥α或l α l⊥n1; 两种情况易忽略 α∥β或α与β重合 n1∥n2;l⊥m l⊥m;l⊥α l∥n1;α⊥β n1⊥n2. 名师点睛 1.空间平行关系的本质是线线平行,根据共线向量基本定理,先证明两条直线的方向向量平行.此外,证明线面平行也可用共面向量定理,先证明这条直线的方向向量能够用平面内两个不共线向量线性表示. 2.利用直线的方向向量证明直线与直线平行、直线与平面平行时,要注意向量所在的直线与所证直线或平面无公共点,证明平面与平面平行时也要注意两平面没有公共点. 思考辨析 1.用向量证明平行关系时要注意什么 2.已知四面体ABCD中,AB=AC,DB=DC,点M为棱BC的中点,指出平面ADM的一个法向量.哪两个平面互相垂直 为什么 提示 在证明直线与直线平行时,要说明两条直线不重合;在证明直线与平面平行时,要说明直线不在平面内;在证明平面与平面平行时,要说明两个平面不重合. 提示 平面ADM的一个法向量是 等)(答案不唯一);互相垂直的平面有两组:平面ADM⊥平面ABC,平面ADM⊥平面BCD. 自主诊断 1.[人教A版教材习题]如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别是平面AB1,平面A1C1的中心.求证:EF∥平面ACD1. 证明 建立如图所示的空间直角坐标系. 设正方体的棱长为2.∵E,F分别是平面AB1,平面A1C1的中心, ∴E(2,1,1),F(1,1,2). 2.[人教A版教材习题]如图,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=2, BC=CC1=1,E是CD的中点,F是BC的中点.求证:平面EAD1⊥平面EFD1. 证明 建立如图所示的空间直角坐标系. 取x1=1,则y1=1,z1=1. ∴n1=(1,1,1)是平面EAD1的一个法向量. 设n2=(x2,y2,z2)是平面EFD1的法向量. 取x2=2,则y2=-1,z2=-1, ∴n2=(2,-1,-1)是平面EFD1的一个法向量. 又n1·n2=1×2+1×(-1)+1×(-1)=0, ∴n1⊥n2,∴平面EAD1⊥平面EFD1. 3.[人教A版教材习题]如图,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,∠ABC=90°, CB=1,CA=2,AA1= ,M是CC1的中点.求证:AM⊥BA1. 知识点2 三垂线定理及其逆定理 简记为“线投垂直 线斜垂直” 三垂线定理 若平面内的一条直线与平面的一条斜线在这个平面内的投影垂直,则它也和这条斜线垂直. 类似地可以得到: 简记为“线斜垂直 线投垂直” 三垂线定理的逆定理 若平面内的一条直线和这个平面的一条斜线垂直,则它也和这条斜线在这个平面内的投影垂直. 思考辨析 如果将三垂线定理中“在这个平面内”的条件去掉,结论仍然成立吗 提示 不成立,例如当b⊥α时,b⊥OA,但b不垂直于OP. 自主诊断 1.判断正误.(正确的画√,错误的画×) (1)若a是平面α的斜线,直线b垂直于a在平面α内的投影,则a⊥b.( ) (2)若a是平面α的斜线,平面β内的直线b垂直于a在平面α内的投影,则a⊥b.( ) (3)若a是平面α的斜线,直线b α且b垂直于a在另一平面β内的投影,则a⊥b.( ) (4)若a是平面α的斜线,b∥α,直线b垂直于a在平面α内的投影,则a⊥b.( ) × × × √ 2.如图,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=2,AD=2 ,P为C1D1的中点,M为BC的中点,则AM与PM的位置关系为( ) A.平行 B ... ...
