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课件网) 3.3.2 第1课时 新授课 空间向量运算的坐标表示及应用 1.掌握空间向量的坐标表示及其运算. 2.理解空间向量平行与垂直的条件. 知识点1：空间向量运算的坐标表示 在空间直角坐标系O-xyz中，分别沿x轴、y轴、z轴正方向作单位向量i，j，k，这三个互相垂直的单位向量就构成空间向量的一组基{i，j，k}，这组基叫作标准正交基. 根据空间向量基本定理，对于任意一个向量p，都存在唯一的三元有序实数组(x，y，z)，使得p=xi+yj+zk. 反之，任意给出一个三元有序实数组(x，y，z)，也可找到唯一的一个向量p=xi+yj+zk与之对应. x i j O k y z 这样，就在空间向量与三元有序实数组之间建立了一一对应的关系，把三元有序实数组(x，y，z)叫作向量p在标准正交基{i，j，k}下的坐标，记作 p=(x，y，z). 单位向量i，j，k都叫作坐标向量. xi，yj，zk实际上分别是向量p在i，j，k方向上所作的投影向量， x，y，z分别是向量p在i，j，k方向上所作投影向量的数量. 在空间直角坐标系O-xyz中，对于空间任意一个向量p，一定可以把它平移，使它的起点与原点O重合，得到向量 若点P的坐标为(x，y，z)，由空间向量的加法不难得出 =xi+yj+zk(如图)，于是向量 的坐标也是(x，y，z). 向量p的坐标恰是点P在空间直角坐标系O-xyz中的坐标(x，y，z). x i j O k y z P 若点A的坐标为(x1，y1，z1)，点B的坐标为(x2，y2，z2)， 则 也就是说：一个向量在空间直角坐标系中的坐标等于表示这个向量的有向线段的终点的坐标减去起点的坐标. 练一练 ∴C1的坐标为(0,3,2). 1.如图所示，以长方体ABCD－A1B1C1D1的顶点D为坐标原点，过D的三条棱所在的直线为坐标轴，建立空间直角坐标系，若 的坐标为(4,3,2)，则C1的坐标是( ) A.(0,3,2) B.(0,4,2) C.(4,0,2) D.(2,3,4) 解：∵ 的坐标为(4,3,2)，D为坐标原点， ∴B1的坐标为(4,3,2)， ∴BC＝4，DC＝3，CC1＝2， A 设向量a=(x1，y1，z1)，b=(x2，y2，z2)， 根据向量数量积的分配律，以及i·i=j·j=k·k=1，i·j=j·k=i·k=0, 即可得出 因此，空间两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积之和. 设向量a=(x1，y1，z1)，b=(x2，y2，z2)，根据空间向量的运算法则，不难得到： 例1:已知向量a=(-1,-3,2)，b=(1,2,0),求： (1) 2a； (2)(a+2b)·(-2a+b). 解：(1)2a=2(-1,-3,2)=(-2,-6,4). (2)∵a+2b=(-1,-3,2)+2(1,2,0)=(-1,-3,2)+(2,4,0)=(1,1,2)， -2a+b=-2(-1,-3,2)+(1,2,0)=(2,6,-4)+(1,2,0)=(3,8,-4)； ∴(a+2b)·(-2a+b)=(1,1,2)·(3,8,-4)=1×3+1×8+2×(-4)=3. 练一练 2.已知a＝(-1,2,1)，b＝(2,0,1)，则(2a+3b)·(a-b)＝ . 解：易得2a+3b＝(4,4,5)，a-b＝(-3,2,0)， -4 则(2a+3b)·(a-b)＝4×(-3)+4×2+5×0＝-4. 知识点2：空间向量平行(共线)和垂直的条件 我们知道，当b≠0时， 如果设向量a=(x1，y1，z1)，b=(x2，y2，z2)，那么当b≠0时， a∥b 使得a=λb. a∥b 使得 当b与三个坐标平面都不平行(即x2y2z2≠0)时， a∥b 类似地，可得 a⊥b a·b=0 x1x2+y1y2+z1z2=0. 练一练 3.判断下列每对向量是否平行，若平行，请将向量a用向量b表示： (1)а=(1,2,1)，b=(1,2,-1)； (2)а=(-2,-4,2)，b=(1,2,-1)； (3)а=(2,1,1)，b=(4,2,2)； (4)а=(1,1,0)，b=(-1,-1,0). 不平行 平行，a=-2b 平行，a=-b 平行，a= b 练一练 4.判断下列每对向量是否垂直： (1)а=(0,1,2)，b=(1,2,-1)； (2)а=(-2,2,2)，b=(1,2,-1)； (3)а=(-2,1,1)，b=(0,2,-2)； (4)а=(1,1,0)，b=(-1,0,-1). 垂直 垂直 不垂直 垂直 回顾本节课所学知识： 1.空间向量坐标表示. 2.空间向量坐标的运算. 3.空间向量平行与垂直的坐标表示. ... ...
