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课件网) 3.4.1 第2课时 新授课 平面的法向量及其应用 1.能用向量语言表述平面. 2.理解平面的法向量，并且会求平面的法向量. 3.会应用平面的法向量解决一些简单的问题. 如果一条直线l与一个平面α垂直，那么就把直线l的方向向量n叫作平面α的法向量，则n⊥α. 知识点1：平面的法向量 如图，设点M是平面α内给定的一点，向量n是平面α的一个法向量，那么对于平面α内任意一点P，必有 思考：如何用平面的法向量来描述平面内任意一点的位置呢？ ① α l M P n 反过来，由立体几何知识可以证明：满足①式的点P都在平面α内，所以把①式称为平面α的一个向量表示式. ① 注意：1.平面α的一个法向量垂直于平面α内的所有向量. 2.一个平面的法向量有无限多个，它们相互平行. 练一练 1.若点A(-1,0,1)，B(1,4,7)在直线l上，若l⊥平面α，则平面α的一个法向量为( ) A.(1,2,3) B.(1,3,2) C.(2,1,3) D.(3,2,1) A 知识点2：平面的方程 如图，在空间直角坐标系中，若n=(A,B,C)，点M的坐标为(x0,y0,z0)，则对于平面α内任意一点P(x,y,z)，有 ① 代入①式，得 ② 即 由此可见，平面α内任意一点P的坐标(x,y,z)都满足方程②； 反之，以满足方程②的(x,y,z)为坐标的任意一点也都在平面α内. 所以方程②叫作平面α的方程. ② 练一练 2.写出经过A(3,2,1)且与直线l的方向向量n＝(-1,3,4)垂直的平面α的方程. 解：由题意知平面α的法向量为n＝(-1,3,4)， 即x-3y-4z+7＝0. 则-x＋3y+4z-7＝0， 则-(x-3)+3(y-2)+4(z-1)＝0， 例1:已知点A(0,1,1)，B(1,2,1)，C(2,1,3)，求平面ABC的一个法向量的坐标. 解：由已知可得 设n=(x,y,z)是平面ABC的一个法向量， 则 不妨取x=1，得y=z=-1. ∴平面ABC的一个法向量的坐标为(1,-1,-1). 即 归纳总结 求平面法向量的方法与步骤 (4)所求出向量中的三个坐标不是具体的值而是比例关系，设定一个坐标为常数(常数不能为0)便可得到平面的一个法向量. (2)设平面的法向量为n＝(x,y,z)； (1)求平面ABC的法向量时，要选取平面内两不共线向量，如 (3)联立方程组 并求解； 例2:在长方体ABCD-A'B'C'D'中，已知AB=1，AD=2，AA'=3. (1)在四边形BCC'B'内是否存在一点N，使得AN⊥平面A'BD？ (2)求证：AC'与平面A'BD的交点恰为线段AC'的三等分点. (1)解：以点A为原点，AB，AD，AA'所在直线分别为x轴、y轴、z轴，如图建立空间直角坐标系， 则B(1,0,0)，D(0,2,0)，A'(0,0,3). 设N(1,y,z)是四边形BCC'B'内一点， 则 例2:在长方体ABCD-A'B'C'D'中，已知AB=1，AD=2，AA'=3. (1)在四边形BCC'B'内是否存在一点N，使得AN⊥平面A'BD？ (2)求证：AC'与平面A'BD的交点恰为线段AC'的三等分点. 令 得 解得 ∴在四边形BCC'B'内存在一点 ，使得AN⊥平面A'BD. (2)分析：要证明AC'与平面A'BD的交点恰为线段AC'的三等分点，可以将直线AC'的方程与平面A'BD的方程联立求得交点坐标，再验证其恰为线段AC'的三等分点；也可以先求出线段AC'三等分点的坐标，再验证其在平面A'BD内. 例2:在长方体ABCD-A'B'C'D'中，已知AB=1，AD=2，AA'=3. (1)在四边形BCC'B'内是否存在一点N，使得AN⊥平面A'BD？ (2)求证：AC'与平面A'BD的交点恰为线段AC'的三等分点. 又B(1,0,0)， 化简，得(6,3,2)·(x-1,y,z)=0，即6x+3y+2z=6.① 设点E为线段AC'的一个三等分点，且满足 (2)证明：由(1)可知 是平面A'BD的一个法向量； ∴平面A'BD的方程为 例2:在长方体ABCD-A'B'C'D'中，已知AB=1，AD=2，AA'=3. (1)在四边形BCC'B'内是否存在一点N，使得AN⊥平面A'BD？ (2)求证：AC'与平面A'BD的交点恰为线段AC'的三等分点. 由 可知 代入方程①检验可知，点E的坐标满足平面A'BD的方程①. 说明：（2）中只展示了第二种证明方法，第一种证明 ... ...
