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课件网) 1.一般地,从n个不同元素中取出m(m≤n,且m,n∈N+)个元素,按照一定的顺序排成一列,叫作从 n个不同元素中取出m个元素的一个排列. 2.我们把从n个不同元素中取出m(m≤n,且m,n∈N+)个元素的所有不同排列的个数,叫作从n个 不同元素中取出m个元素的排列数,记作 . 3.我们把有关求排列的个数的问题叫作排列问题. §2 排列问题 知识点 1 排列、排列数与排列问题 知识 清单破 1.从n个不同元素中取出m(m≤n,且m,n∈N+)个元素的排列共有n(n-1)(n-2)·…·[n-(m-1)]种,所 以 =n(n-1)(n-2)·…·[n-(m-1)].这个公式叫作排列数公式. 2.当m=n时, =n(n-1)(n-2)·…·2·1,记作n!,读作:n的阶乘. 3.阶乘的相关结论 (1)规定: =1,0!=1. (2)排列数公式的另一种形式: = (m≤n,且m,n∈N+). 知识点 2 排列数公式与阶乘 知识辨析 判断正误,正确的画“√”,错误的画“ ”. 1.若组成两个排列的元素相同,则这两个排列是相同的. ( ) 2.(n+1)!-n!=n·n!. ( ) 3.4×5×6×…×(n-1)×n= ,其中n≥4,n∈N. ( ) 4.5个人站成一排,其中甲、乙两人不相邻的排法可列式为 - . ( ) √ √ √ 提示 提示 提示 组成两个排列的元素的排列顺序不相同时,这两个排列是不相同的. (n+1)!-n!=(n+1)·n!-n!=n·n!. 利用插空法可列式为 ;利用间接法可列式为 - . 1.“在”与“不在”的问题 解决“在”与“不在”的问题,常用的方法有特殊位置分析法、特殊元素分析法.若以 位置为主,则需先满足特殊位置的要求,再处理其他位置,若有两个及两个以上的约束条件,则 在考虑一个约束条件的同时也要兼顾其他条件;若以元素为主,则需先满足特殊元素的要求, 再处理其他元素.当直接求解困难时,可考虑用间接法求解,即先不考虑限制条件,计算出排列 总数,再减去不符合要求的排列数. 2.“相邻”与“不相邻”问题 (1)“捆绑法”解决相邻问题 将n个不同的元素排成一列,其中k(k≤n)个元素排在相邻的位置上,求不同排法种数的方法如 讲解分析 疑难 情境破 疑难 1 有限制条件的排列问题 下:①将这k个元素“捆绑”在一起,看成一个整体;②把这个整体当成一个元素与其他元素一 起排列,有 种排法;③“松绑”,即将“捆绑”在一起的元素进行内部排列,其排列方法有 种;④由分步乘法计数原理知,符合条件的排法有 种. (2)“插空法”解决不相邻问题 将n个不同的元素排成一列,其中k 个元素互不相 邻,求不同排法种数的方法如下:①将没有不相邻要求的(n-k)个元素排成一排,其排列方法有 种;②将要求两两不相邻的k个元素插入(n-k+1)个空隙中,相当于从(n-k+1)个空隙中选出k 个分别分配给两两不相邻的k个元素,其排列方法有 种;③根据分步乘法计数原理知,符 合条件的排法有 种. (3)“定序”问题 在排列问题中,某些元素在题意中已排定了顺序,对这些元素进行排列时,不再考虑其顺 序.在具体的计算过程中,可采用“除阶乘法”解决,即n个元素的全排列中有m(m≤n)个元素 的顺序固定,则满足题意的排法有 种. 典例 7名师生站成一排照相留念,其中老师1人,男学生4人,女学生2人.分别求满足下列情况的 不同站法的种数. (1)老师必须站在中间或两端; (2)2名女学生必须相邻而站; (3)4名男学生互不相邻; (4)若4名男学生身高都不等,按从高到低的顺序站. 解析 (1)先考虑老师,有 种站法,再考虑其余6人,有 种站法,所以不同站法的种数为 =2 160. (2)(捆绑法)2名女学生相邻而站,有 种站法,将她们视为一个整体并与其余5人全排列,有 种排法,所以不同站法的种数为 =1 440. (3)(插空法)先排老师和女学生,有 种站法,再在老师和女学生站位的空(含两端)中插入男学 生,每空一人,则插入方法有 种,所以不同站法的种数为 =144. (4)解法一(定序法):在7人全排列的所有站法中,4名 ... ...
