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课件网) 已知两圆C1:(x-x1)2+(y-y1)2= ,C2:(x-x2)2+(y-y2)2= ,且r2>r1,联立两圆方程得到方程组,两圆 圆心距d=|C1C2|. 知识 清单破 2.4 圆与圆的位置关系 知识点 圆与圆的位置关系 位置关系 外离 外切 相交 内切 内含 图形表示 几何特征 d>r1+r2 d=r1+r2 r2-r1
r1+r2(d为两圆圆心距,r1,r2分别为两圆半径). ( ) 5.若两圆有两条公切线,则两圆相交. ( ) √ 提示 提示 提示 提示 两圆外切或内切. 当|r1-r2|<|C1C2|r1+r2或d<|r1-r2|. 判断圆与圆的位置关系的一般步骤 (1)分别求出两圆的圆心坐标和半径r1,r2; (2)求两圆的圆心距d; (3)比较d与|r1-r2|,r1+r2的大小; (4)根据大小关系确定圆与圆的位置关系. 讲解分析 疑难 情境破 疑难 1 圆与圆的位置关系 典例 圆C:x2+y2-3x+5y=r2- (r>0)与圆D:x2+y2=9的位置关系不可能是 ( ) A.内含 B.相交 C.外切 D.内切 C 解析 将圆C的方程化为 + =r2(r>0),其圆心为C ,圆D:x2+y2=9的圆心为D (0,0),半径为3,因为两圆的圆心距|CD|= <3,所以圆C的圆心在圆D的内部,所以两 圆的位置关系不可能是外切. 1.求两圆的公共弦所在直线的方程 设圆C1:x2+y2+D1x+E1y+F1=0,圆C2:x2+y2+D2x+E2y+F2=0, 联立 ①-②,得(D1-D2)x+(E1-E2)y+F1-F2=0.③ 若两圆交点分别为A(x1,y1),B(x2,y2),则A,B的坐标适合方程①②,也适合方程③,因此方程③就 是经过两圆交点的直线方程. 当两圆相交时,(D1-D2)x+(E1-E2)y+F1-F2=0是经过两圆交点的直线方程,即公共弦所在直线的 方程. 讲解分析 疑难 2 两圆的公共弦问题 当两圆外离时,(D1-D2)x+(E1-E2)y+F1-F2=0是垂直于两圆圆心连线的一条直线方程. 当两圆相切时,(D1-D2)x+(E1-E2)y+F1-F2=0是两圆的一条公切线方程. 若两圆是等圆,则(D1-D2)x+(E1-E2)y+F1-F2=0是以两圆圆心为端点的线段的垂直平分线的方 程. 2.两圆公共弦长的求法 (1)几何法:先求出两圆公共弦所在直线的方程,再利用圆的半径、弦心距、弦长的一半构成 的直角三角形求解; (2)代数法:联立两圆的方程,求出交点坐标,再利用两点间的距离公式求解. 3.求经过两圆交点的圆的方程的方法 一般地,过圆C1:x2+y2+D1x+E1y+F1=0与圆C2:x2+y2+D2x+E2y+F2=0交点的圆的方程可设为x2+y2+ D1x+E1y+F1+λ(x2+y2+D2x+E2y+F2)=0(λ∈R,λ≠-1),然后由其他条件求出λ即得圆的方程. 典例 已知两圆C1:x2+y2-2x+10y-24=0和C2:x2+y2+2x+2y-8=0. (1)求它们的公共弦所在直线的方程; (2)求它们的公共弦长. 解析 (1)将两圆方程相减,得公共弦所在直线的方程为x-2y+4=0. (2)解法一:由(1)得x=2y-4,代入圆C2的方程得y2-2y=0,解得y1=0,y2=2, ∴两圆的交点坐标分别为(-4,0)和(0,2), ∴两圆公共弦的长为 =2 . 解法二:由(1)知两圆公共弦所在直线的方程为x-2y+4=0,且圆心C1(1,-5),半径r1=5 . 圆心C1到直线x-2y+4=0的距离d= =3 , 设两圆公共弦的长为2l,由勾股定理得r2=d2+l2,即50=45+l2,解得l= (负值舍去),∴两圆公共弦 的长为2l=2 . 易错警示 只有在两圆相交的前提下,方程(D1-D2)x+(E1-E2)y+F1-F2=0才是圆C1:x2+y2+D1x+E1y +F1=0 ... ... 