第5章 直角三角形 5.1 直角三角形的性质定理 第1课时 直角三角形的性质和判定 1.掌握“直角三角形两个锐角互余”，并能利用“两锐角互余”判断三角形是直角三角形. 2.探索、理解并掌握“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”的性质定理. 重点：掌握利用“两个锐角互余”判断三角形是直角三角形的方法. 难点：掌握“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”的性质定理的综合运用. 在小学时我们已经学习过有关直角三角形的知识，同学们可以用手上的三角板和量角器作直角三角形，并和小组成员一同探究直角三角形的性质. 问题1：如何用量角器验证直角？ 问题2：如何用三角尺验证直角？ 探究点一 直角三角形两锐角互余 【例1】如图，将Rt△ABC（∠B＝25°）绕点A顺时针方向旋转到△AB1C1的位置，使得点C，A，B1在同一条直线上，那么旋转角等于（ ） A.65° B.80° C.105° D.115° 【解析】因为在Rt△ABC中，∠B＝25°，∠C＝90°， 所以∠CAB＝65°. 由旋转的性质，得∠C1AB1＝∠CAB＝65°，且旋转角为∠CAC1. 因为点C，A，B1在同一条直线上， 所以∠CAC1＝180°－∠C1AB1＝180°－65°＝115°， 所以旋转角等于115°. 【答案】D 【方法总结】熟知直角三角形两个锐角互余的性质，并准确识图是解决此类题的关键. 探究点二 有两个角互余的三角形是直角三角形 【例2】如图所示，已知AB∥CD，∠BAF＝∠F，∠EDC＝∠E，求证：△EOF是直角三角形. 【解析】三角形内角和定理是解答有关角的问题时最常用的定理，是解决问题的突破口.本题欲证△EOF是直角三角形，只需证∠E＋∠F＝90°即可，而∠E＝（180°－∠BCD），∠F＝（180°－∠ABC），由AB∥CD可知∠ABC＋∠BCD＝180°，问题即可得证. 【解】因为∠BAF＝∠F，∠BAF＋∠F＋∠ABF＝180°， 所以∠F＝（180°－∠ABF）. 同理，∠E＝（180°－∠ECD）， 所以∠E＋∠F＝180°－（∠ABF＋∠ECD）. 因为AB∥CD，所以∠ABF＋∠ECD＝180°， 所以∠E＋∠F＝180°－×180°＝90°， 所以△EOF是直角三角形. 【方法总结】由三角形的内角和定理可知一个三角形的三个内角之和为180°.如果一个三角形中有两个角的和为90°，可知另一个角为直角，即有两个角互余的三角形是直角三角形. 探究点三 直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半 【例3】 如图，△ABC中，AD是高，E，F分别是AB，AC的中点.若AB＝10，AC＝8，求四边形AEDF的周长. 【解析】根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得DE＝AE＝AB，DF＝AF＝AC，再根据四边形的周长公式计算即可得解. 【解】因为AD是高，E，F分别是AB，AC的中点，所以DE＝AE＝AB＝×10＝5，DF＝AF＝AC＝×8＝4，所以四边形AEDF的周长＝AE＋DE＋DF＋AF＝5＋5＋4＋4＝18. 【方法总结】当已知条件含有线段的中点、直角三角形等条件时，可联想直角三角形斜边上的中线的性质，连接中点和直角三角形的直角顶点进行求解或证明. 探究点四 直角三角形性质的综合运用 类型一 利用直角三角形的性质证明线段关系 【例4】 如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°，EF为AB的垂直平分线，交BC于点F，交AB于点E.求证：FC＝2BF. 【解析】根据EF是AB的垂直平分线，联想到垂直平分线的性质，因此连接AF，得到△AFB为等腰三角形.又可求得∠B＝∠C＝∠BAF＝30°，进而求得∠FAC＝90°.取CF的中点M，连接AM，就可以利用直角三角形的性质进行证明. 【解】如图，取CF的中点M，连接AF，AM. 因为EF是AB的垂直平分线，所以AF＝BF，所以∠BAF＝∠B. 因为AB＝AC，∠BAC＝120°， 所以∠B＝∠BAF＝∠C＝（180°－120°）＝30°， 所以∠FAC＝∠BAC－∠BAF＝90°. 在Rt△AFC中，∠C＝30°，M为CF的中点， 所以∠AFM＝60°，AM＝FC＝FM，所以△AFM为等边三角形， 所以AF＝AM＝FC. ... ...
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