2.4 解直角三角形 课题 2.4 解直角三角形 课时 1课时 授课人 教学目标 1.掌握直角三角形中角与角(两锐角互余)、边与边(勾股定理)、角与边(锐角三角比)之间的关系. 2.已知直角三角形的两个元素(至少一个是边),会解直角三角形. 3.通过将非直角三角形问题转化为解直角三角形问题,感悟转化的数学思想. 教学 重难点 教学重点:已知直角三角形的两个元素(至少一个是边),会解直角三角形. 教学难点:锐角三角比在解直角三角形中的灵活运用. 教学活动 教学流程 师生活动 设计意图 课前小测 1.在Rt△ABC中,∠C=90°,若AB=5,AC=2.5,则∠A= 60° ,∠B= 30° . 2.在Rt△ABC中,∠C=90°,若∠B=30°,AC=3,则AB= 6 ,BC= 3 . 复习巩固之前所学,为新课内容做好铺垫. 情境导入 如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,∠A,∠B,∠C的对边分别为a,b,c.共有六个元素,三条边和三个角.其中有一个角是直角,固定不变. 问题1：直角三角形的三边之间有什么关系 a2+b2=c2. 问题2：直角三角形的锐角之间有什么关系 ∠A+∠B=90°. 问题3：直角三角形的边和锐角之间有什么关系 sin A=,sin B=, cos A=,cos B=, tan A=,tan B=. 定义: 解直角三角形:由直角三角形中已知的元素求出未知元素的过程,叫做解直角三角形. 观察交流：观察上面问题的结论,在直角三角形中,除直角以外,至少知道几个元素就可以求出其他的未知元素 1.归纳、梳理前面学过的勾股定理和锐角三角比. 2.直接给出解直角三角形的定义. 合作探究 探究一:已知直角三角形的两个锐角,能解直角三角形吗 不能,由相似三角形的知识可知,两个锐角分别相等的三角形相似,这样大小不同的相似三角形能画出无数个,所以不能解直角三角形. 探究二:已知直角三角形的两边,能解直角三角形吗 如图,在△ABC中,∠C=90°,AC=,BC=,能求出其他未知的边和角吗 解:在Rt△ABC中,∠C=90°,所以tan A==. 所以∠A=60°,所以∠B=90°-∠A=30°. AB==2. 1.分情况探究解直角三角形的必备条件. 续表 合作探究 典例分析: 【例1】 在Rt△ABC中,已知∠C=90°,a=17.5,c=62.5.解这个直角三角形. 解:∵a2+b2=c2, ∴b===60, 由sin A===0.28,得∠A≈16°15'37″. ∴∠B=90°-∠A≈90°-16°15'37″=73°44'23″. 如果已知直角三角形的两条直角边,如何解直角三角形呢 与同学交流. 直角边的比跟正切有关,所以“有斜用弦”“无斜用切”,同样可以求出角的度数. 归纳小结：在直角三角形中,已知两边,定能解直角三角形. (1)已知斜边c和直角边b,则 ①a=;②由sin B=,求∠B;③∠A=90°-∠B. (2)已知直角边a和b,则 ①c=;②由tan A=,求∠A;③∠B=90°-∠A. 探究三:已知直角三角形的一边和一角,能解直角三角形吗 如图,在△ABC中,∠C=90°,∠A=65°,a=5,能求出其他未知的边和角吗 解:在Rt△ABC中,∠C=90°,∠A=65°, ∴∠B=25°. ∵tan B=,∴b=a·tan B. ∵sin A=,∴c=. 当知道一边和一角时,可以解直角三角形. 如果三角比不是特殊值,那么可以用计算器求角. 典例分析: 【例2】 在Rt△ABC中,已知∠C=90°,c=128,∠B=52°.解这个直角三角形(边长精确到0.01). 解:在Rt△ABC中,由∠C=90°,∠B=52°,得 ∠A=90°-∠B=90°-52°=38°. 由sin B=,得b=c·sin B=128·sin 52°≈100.87; 由cos B=,得a=c·cos B=128·cos 52°≈78.80. 如果已知直角三角形的一条直角边和一个锐角,如何解直角三角形呢 用“有斜用弦,无弦用切”的原则,同样可以解直角三角形. 2.在求解过程中尽量使用原数据来求解,以免增大误差. 续表 合作探究 归纳小结：在直角三角形中,除直角外,再知道一角一边就可以解直角三角形.选择关系式时,尽量应用原始数据,使计算更加精确. (1)已知斜边c和锐角A,则 ①∠B=90°-∠A;②a=c·sin A;③b=c·cos A. (2)已知锐角A和其对边a,则 ①∠B=90°-∠A;②b=;③c=. (3)已知锐 ... ...
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