4.2 用配方法解一元二次方程 课题 4.2 用配方法解一元二次方程 课时 第1课时 授课人 教学目标 1.会利用平方根的意义解形如(x+m)2=n的一元二次方程. 2.理解配方法,会用配方法将数字系数的一元二次方程转化为(x+m)2=n的形式,然后求解. 3.通过用配方法解二次项系数是1的一元二次方程,把一元二次方程转化为一元一次方程,体会“转化”的数学思想. 教学 重难点 教学重点:掌握用配方法解二次项系数是1的一元二次方程的一般步骤. 教学难点:探究用配方法解一元二次方程. 教学活动 教学流程 师生活动 设计意图 课前小测 1.什么是平方根 如果x2=a,那么x=±,x就是a的平方根. 2.如果x2=3,那么x= ± .如果(x-1)2=4,那么x-1= ±2 . 3.正数有2个平方根,它们互为 相反数 ;负数 没有 平方根,0的平方根是0. 4.完全平方公式 (a+b)2=a2+2ab+b2,(a-b)2=a2-2ab+b2. 复习平方根,为学习直接开平方法做好准备. 情境导入 观察下面的一元二次方程: x2=5,① (x+5)2=9.② 问题:根据平方根的意义,你会解方程①②吗 方程①②有几个根 x2=5, 由平方根的意义,直接开平方得x=±. 所以x1=,x2=-. ②(x+5)2=9, 直接开平方得x+5=±3. 所以x1=-2,x2=-8. 一元二次方程可以有两个实数根.通常用x1,x2分别表示未知数为x的一元二次方程的两个根. 总结方法: 如果等式左边是一次式的平方的形式,等式右边是个常数,如(x+m)2=n,可以由平方根的意义,直接开平方求解,这个方法叫做直接开平方法. 直接开平方法是在解一元二次方程时首先考虑的方法,也是配方法的基础. 合作探究 探究:用配方法解一元二次方程 观察: x2+10x+25=9,③ x2+10x=-16.④ 问题1：比较方程③与情境导入的方程②,你发现它们有什么联系 根据这种联系,你会解方程③吗 问题2：比较方程③与④,你发现它们有哪些相同和不同 对于解方程④,由此能得到什么启示 有两步非常关键,第一步是利用等式的基本性质两边同加25,使方程的左边成为一个完全平方式.第二步是通过开平方,将一元二次方程转化为一元一次方程. 1.由浅入深,逐步引导学生探索配方法的步骤. 续表 合作探究 问题3：想一想,为什么在方程④的两边都加25之后,方程④的左边就成为一个完全平方式 归纳小结： 当一元二次方程的二次项系数为1时,可先把常数项移到方程的右边,然后在方程的两边都加上一次项系数的一半的平方,就把方程的左边配成了一个完全平方式,从而可以由平方根的意义求解方程.这种解一元二次方程的方法叫做配方法. 由于平方都是非负数,所以只需要加上一次项系数的绝对值的一半的平方即可. 试一试: 在下面的横线上各填上一个数,使各式成为完全平方式: (1)x2+14x+ 49 =(x+ 7 )2; (2)x2-20x+ 100 =(x- 10 )2; (3)x2+x+ =x+ 2; (4)x2-0.2x+ 0.01 =(x- 0.1 )2. 典例分析: 【例1】 解方程:x2-4x-12=0. 解:移项,得x2-4x=12. 两边都加22,得x2-4x+22=12+4. 即(x-2)2=16. 直接开平方,得x-2=±4. 所以x1=6,x2=-2. 【例2】 解方程:x2-3x+2=0. 解:移项,得x2-3x=-2. 配方,方程两边都加2,得x2-3x+2=-2+2, 即x-2=. 由平方根的意义,得x-=±. 所以x1=2,x2=1. 你能总结用配方法解形如x2+bx+c=0的方程的步骤吗 归纳小结： (1)移项:把常数项移到方程右边(移项要变号); (2)配方:将方程左边配方(等式两边同时加一次项系数一半的平方); (3)用直接开平方法解方程. 挑战自我: 你会用配方法解方程(x+1)2+2(x+1)=8吗 你能找到几种解法 (1)先化为一般形式后再用配方法求解; (2)把(x+1)看作一个以(x+1)为未知数的一元二次方程,用配方法解出(x+1)的值,得到两个一元一次方程,再求x,这个方法称为换元法. 原方程的解为x1=1,x2=-5. 2.配方法的关键是找到完全平方式. 3.这两个例题是基础性问题,有助于对配方法加深理解. 4.每一步都是易错点,要牢记每一步的关键点. ... ...
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