中小学教育资源及组卷应用平台 第1讲 一阶递推方法 【题型一】 迭加迭乘迭代法 （一）迭加法：迭加：（一阶迭加） 形如型的递推数列（其中是关于的函数）可构造： 将上述个式子两边分别相加，可得： ①若是关于的一次函数，累加后可转化为等差数列求和； ②若是关于的指数函数，累加后可转化为等比数列求和； ③若是关于的二次函数，累加后可分组求和； ④若是关于的分式函数，累加后可裂项求和． 【例1】已知，，求数列的通项公式； 【答案】 【详解】解： ，即， ， ，，， ， 以上各式相加得， 又，所以， 而也适合上式，. 故答案为： 变式1已知数列中，，且.其中，求数列的通项公式； （二）迭乘法：迭乘：（一阶迭乘） 形如，型的递推数列（其中是关于的函数）可构造： 将上述个式子两边分别相乘，可得： 有时若不能直接用，可变形成这种形式，然后用这种方法求解． 【例2】已知数列的前n项和为，且满足，.求的通项公式； 【解析】解：时，，解得. 当时，，故， 所以， 故. 符合上式，故的通项公式为，. 变式2设数列的前项和，若，求数列的通项． （三）迭代：（一阶迭代之构造常数数列法，此法类似迭乘法） 【例3】已知数列满足，且，，2，3，…，求的通项公式． 【答案】 【详解】根据结合可得， ， 所以， 化简可得，即． 所以，故．代入也成立；所以. 变式3 已知数列满足：，（），求的通项公式； 迭代法之辅助数列模型：，再用迭加法求和 【例4】已知数列是首项为，求通项公式． 【详解】，，， 注意：如果，再用迭加法求出． 变式4 已知数列是首项为，，求通项公式． 【题型二】待定系数法 （一）递推式 核心思想：递推式转化为，为待定系数 （1）当时，，． 【例5】已知数列满足，求数列的通项公式. 【详解】设，与 比较系数可得，即. 又，所以是以2为首项，2为公比的等比数列，故，即. （2）当时，同除以，得：数列是以， 则． 【例6】已知，，求数列的通项公式. 【详解】同除，故，即. 设，则，所以. 又，故是以2为首项，2为公比的等 比数列，即，所以， 故，即. （3）当时，可用待定系数法，，对比系数可知， ． 【例7】已知数列的首项为3，且满足.求数列的通项公式 【答案】 【详解】由，， 得，又， 所以是以为首项，为公比的等比数列. 得，， （4）转化成即解出；可得数列为首项，为公比的等比数列， ． 【例8】已知，，求数列的通项公式. 【详解】，可设，整理可得，比较系数得即所以，这样等比数列就构造出来. ， （二）倒数变换法 1. 形如转化为，即，求出；再转化为待定系数法的形式，化归为型求出的表达式，再求； 2. 还有形如的递推式，也可采用取倒数方法转化成形式，化归为型求出的表达式，再求． 【例9】在数列中，，（）．求数列的通项公式； 【答案】 【详解】由条件得， 所以数列是以为首项，公差的等差数列． 故，即． 【例10】已知数列满足，且，则数列_____ 【答案】 【详解】由两边取倒数可得，即 所以数列是等差数列，且首项为，公差为，所以，所以； 变式5 设数列是首项为，满足，求通项公式． 变式6 已知数列的首项，且满足.求数列的通项公式； 变式7设数列是首项为，且，求通项公式． 【题型三】 不动点法 不动点的概念: 对于函数，若存在实数，使得，则称是函数的一个不动点。 对于数列，递推公式可以由给出，则使得的值称为递推数列的不动点。 我们以一个简单的递推，为例 从图中我们看到只有在都减去了不动点之后，根据斜率得到在几何上是成比例的。 通过求解，得到递推数列的不动点为，此时，我们说是一个等比数列。 事实也是如此，我们也可以用配凑法得到:；再用累乘法，得到:。 不动点的性质 对于函数，若是函数的一个不动点，即满足，则成立。 对于数列，若是数列的一个不动点， ... ...
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