5.2 勾股定理及其逆定理 第2课时 勾股定理的应用 教案（表格式）2025-2026学年八年级上册数学湘教版

课题 第5章 5.2 勾股定理及其逆定理 第2课时 勾股定理的应用 授课教师 授课类型 新授课 教学目标 1．会用勾股定理来解决一些实际问题，体会数学的应用价值． 2．经历“问题———数学建模———问题解决”的过程，培养分析，解决问题的能力． 3．放手学生从多角度地了解勾股定理. 4．增强学生的动手能力. 5.学会运用勾股定理来解决一些实际问题，体会数学的应用价值. 6.尽可能的给学生提供机会展示他们查阅有关的勾股定理，进行交流，并在与他人交流的过程中敢于发表不同的见解，在交流活动中获得成功的体验. 教学重点、 难点 教学重点：应用勾股定理有关知识解决有关问题. 教学难点：灵活应用勾股定理有关知识解决有关问题. 教学准备 多媒体课件、三角尺 教学过程 1.情境导入 勾股定理的内容是什么？ 如果直角三角形的两条直角边分别为a，b，斜边为c，那么a2+b2=c2. 勾股定理是人类早期发现并证明的重要数学定理之一，用代数思想解决几何问题的最重要的工具之一，也是数形结合的纽带之一. 勾股定理应用非常广泛，这节课我们来学习这个定理的应用. 2.讲授新课 议一议：我们已经知道，实数与数轴上的点一一对应，如何在数轴上作出表示实数和的点 全班分组合作探究： 如图5.2-6，由勾股定理可知，当两条直角边都为1时，该直角三角形的斜边OA1长为，以原点O为圆心，OA1为半径画圆弧，与数轴的交点就是表示的点；当两条直角边分别为，1时，该直角三角形的斜边OA2长为，以原点O为圆心，OA2为半径画圆弧，与数轴的交点就是表示的点. 图5.2-6 学生进行练习： 你能在数轴上作出表示的点吗？ （请学生参照例子自己画一画） 思考：图5.2-7是一位电工师傅准备利用梯子在墙上安装电灯的示意图.假设梯子长4 m，他将梯子靠在墙上，此时梯脚离墙脚的距离为1.5 m.他爬上梯子后，发现高度不够，于是将梯脚往墙脚移近了0.5 m，那么，梯子顶端是否也上移0.5 m （已知≈3.71，≈3.87) 图5.2-7 根据已知条件可抽象出示意图5.2-8，分别在Rt△ABC和Rt△A'BC'中，运用勾股定理计算出AB，A'B，则可得出梯子顶端往上移动的距离. 图5.2-8 在Rt△ABC中，AC=4 m，BC=1.5 m， 于是，AB==≈3.71（m）. 在Rt△A'BC'中，A'C'=4 m，BC'=1 m， 由勾股定理得，A'B==≈3.87（m）， 因此A'A=A'B - AB≈3.87-3.71=0.16（m）. 即梯子顶端A点大约向上移动了0.16 m，而不是向上移动0.5 m. 例3：(古代数学问题）“今有池方一丈，葭（jiā）生其中央，出水一尺，引葭赴岸，适与岸齐，问水深、葭长各几何？”意思是：有一个池塘，其水面是边长为10尺的正方形，一棵芦苇生长在池的中央，其出水部分为1尺，如果将芦苇沿与水池边垂直的方向拉向岸边，它的顶端恰好碰到池边的水面.问水深与芦苇长各为多少 分析 根据题意，先画出水池截面示意图，如图5.2-9所示.设AB为芦苇，BC为芦苇出水部分，长1尺，将芦苇拉向岸边，其顶部B点恰好碰到岸边B'. 图5.2-9 解：如图5.2-9，设水深x尺，则AC=x尺， AB=AB'=(x+1)尺. 因为池塘的水面是边长为10尺的正方形， 所以B'C=5尺. 在Rt△ACB'中，根据勾股定理得， x2+52=(x+1)2， 解得 x=12. 故芦苇长为13尺. 答：水深为12尺，芦苇长为13尺. 练习：如图，校园内有两棵树，相距12 m，一棵树高16m，另一棵树高11 m，一只小鸟从一棵树的顶端飞到另一棵树的顶端，小鸟至少要飞多少米？ 解：由题意有BC=12 m，AC=16-11=5（m）. 在Rt△ABC中，AB===13（m）. 答：小鸟至少要飞13 m. 3.课堂练习 1.如图，铁路和公路PQ在点O处交汇，∠QON= 30°.公路PQ上A处距O点240 m，如果火车行驶时，周围200 m以内会受到噪音的影响，那么火车在铁路上沿O方向以72 km/h的速度行驶时，A处受噪音影响的时间为_____. 解析：如图，过点A作AC⊥ON，AB=AD=200 m. 因为∠QON=30 ... ...