北师大版（2024）【弯道超车】七升八第二部分新知超前：1.3勾股定理的应用（10大考点题型）（原卷版+解析版）

中小学教育资源及组卷应用平台 八年级上册数学《第1章 勾股定理》 1.3 勾股定理的应用 勾股定理的应用 利用勾股定理，可以解决与直角三角形有关的计算和证明题，在解决过程中，往往利用勾股定理列方程（组），有时需要通过作辅助线来构造直角三角形，化非直角三角形为直角三角形来解决. ◆勾股定理应用的类型： （1）已知直角三角形的任意两边长求第三边长； （2）已知直角三角形的一边长确定另两边长的关系； （3）对于一些非直角三角形的几何问题和日常生活中的实际问题，首先要建立直角三角形的模型，然后利用勾股定理构建方程或方程组解决. 【注意】勾股定理的应用的前提条件必须是直角三角形，所以要应用勾股定理必须构造直角三角形. 考点1、 应用勾股定理解决梯子滑落问题 例1．（2024春 滨城区校级月考）如图，一根长25m的梯子，斜立在一竖直的墙上，这时梯子底端距离墙7m，如果梯子的顶端下滑4m，那么梯子底端将向外滑动（　　） A．7m B．8m C．9m D．15m 【分析】利用勾股定理进行解答．求出下滑后梯子底端距离墙角的距离，再计算梯子底端滑动的距离． 【解答】解；梯子顶端距离墙角的距离为， 顶端下滑后梯子底端距离墙角的距离为， 15﹣7＝8（m）． 故选：B． 【点评】本题考查了勾股定理的应用，关键是掌握直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方． 变式1．（2024春 确山县期末）如图，一个梯子AB斜靠在一竖直的墙AO上，测得AO＝2m．若梯子的顶端沿墙下滑0.5m，这时梯子的底端也恰好外移0.5m，则梯子的长度AB为（　　）m． A．2.5 B．3 C．1.5 D．3.5 【分析】设BO＝xm，利用勾股定理用x表示出AB和CD的长，进而求出x的值，即可求出AB的长度． 【解答】解：设BO＝xm，依题意，得AC＝0.5，BD＝0.5，AO＝2． 在Rt△AOB中，根据勾股定理得 AB2＝AO2+OB2＝22+x2， 在Rt△COD中，根据勾股定理 CD2＝CO2+OD2＝（2﹣0.5）2+（x+0.5）2， ∴22+x2＝（2﹣0.5）2+（x+0.5）2， 解得x＝1.5， ∴AB2.5， 答：梯子AB的长为2.5m． 故选：A． 【点评】本题考查了勾股定理在实际生活中的应用，本题中找到AB＝CD为梯子长等量关系是解题的关键． 变式2．（2024春 香坊区校级期中）如图，一根长10米的木棒AB，斜靠在与地面垂直的墙上，木棒B端距离墙6米，当木棒A端沿墙下滑至点A'时，B端沿地面向右滑行至点B'，若AA'＝2，则BB'的长为（　　）米． A．1 B． C．3 D．2 【分析】根据勾股定理求出OA、OB'的长，即可解决问题． 【解答】解：根据题意可知，AB＝A'B'＝10米，OB＝6米， 在Rt△AOB中，由勾股定理得：OA8（米）， ∵CA′＝CA﹣AA′，AA′＝2米， ∴OA′＝OA﹣AA'＝8﹣2＝6（米）， 在Rt△A′OB′中，由勾股定理得：OB'8（米）， ∴BB′＝OB′﹣OB＝8﹣6＝2（米）， 故选：D． 【点评】本题考查了勾股定理的应用，根据勾股定理求出OA、OB'的长是解题的关键． 变式3．（2024春 湖北期中）如图，一条小巷的左右两侧是竖直的墙，一架梯子斜靠在左墙时，梯子底端到左墙脚的距离为0.7米，顶端距离地面2.4米．若梯子底端位置保持不动，将梯子斜靠在右墙时，顶端距离地面1.5米，则小巷的宽度为（　　） A．1.8米 B．2米 C．2.5米 D．2.7米 【分析】根据题意由勾股定理得出AB的长即可得出BC的长，再根据勾股定理求出BD的长即可得出结果． 【解答】解：如图，由题意可知，AE＝2.4米，BE＝0.7米，CD＝1.5米，AB＝BC， 由勾股定理得，AB2.5（米）， ∴BC＝2.5米， ∴BD2（米）， ∴DE＝BD+DE＝2.7米， 即小巷的宽度为2.7米， 故选：D． 【点评】本题考查了勾股定理的应用，熟记勾股定理是解题的关键． 考点2、 应用勾股定理解决旗杆高度问题 例1．（2024春 同心县校级期中）如图，一次“台风”过后，一根旗杆被台风从离地面6米处吹断， ... ...