第5章 直角三角形 5.4 角平分线的性质 第1课时 角平分线的性质和判定 学习目标 1.探索并证明角平分线的性质定理： 角平分线上的点到角两边的距离相等； 角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上. 2.能灵活运用角平分线的性质定理解决一些简单的几何推理问题. 学习重点、难点 角平分线性质定理及其应用. 重点： 难点： 性质定理的探索推理论证. 知识回顾 我们知道，角平分线是一条以角的顶点为端点的射线，并把这个角分成两个相等的角，下面来研究角平分线的其他特殊性质。 课时导入 探究 C O B A P D E 如图5.4-1，在∠AOB的平分线OC上任取一点P，作PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为点D，E.比较线段PD，PE的长度，它们相等吗？由此你能得出什么结论? 图5.4-1 若将∠AOB沿角平分线OC折叠，则可以发现点D与点E重合，因而PD与PE重合，即PD=PE. 利用圆规，比较它们的长度，也可以发现PD=PE. 由此可猜测：角的平分线上的点到角的两边的距离相等. 下面来证明上述猜测成立. 因为PD⊥OA于点D，PE⊥OB于点E，所以∠PDO=∠PEO=90°. 在△PDO和△PEO中， ∠????????????=∠????????????，∠????????????=∠????????????，????????=????????， 所以△PDO?△PEO（角角边）. 因此PD=PE. 由此可得角平分线的性质定理： 角的平分线上的点到角的两边的距离相等. ? 思考 角平分线的性质定理的逆命题是什么？它是真命题吗？ 如图5.4-2，点P在∠AOB的内部，作PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为点D，E，且PD=PE. 过点O，P作射线OC. 因为PD⊥OA，PE⊥OB，所以∠PDO=∠PEO=90°. 在Rt△PDO和Rt△PEO中，????????=????????，????????=????????， 所以Rt△PDO≌Rt△PEO（斜边、直角边)， 从而∠AOC=∠BOC. 因此OC是∠AOB的平分线，即点P在∠AOB的平分线OC上. 由此可得： 角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线上. ? 图5.4-2 C O B A P D E 例1 如图5.4-3，∠BAD=∠BCD=90°，∠1=∠2.求证： （1）点B在∠ADC的平分线上； （2）BD平分∠ABC. 证明 （1）在△ABC中，因为∠1=∠2，所以BA=BC. 又BA⊥AD，BC⊥CD，所以点B在∠ADC的平分线上. （2）在Rt△BAD和Rt△BCD中，????????=????????，????????=????????， 所以Rt△BAD?Rt△BCD（斜边、直角边）. 因此∠ABD=∠CBD，从而BD平分∠ABC. ? 图5.4-3 A B C D 1 2 随 堂 小 测 1. 用尺规作图作一个已知角的平分线的示意图如图所示，则能说明∠AOC = ∠BOC 的依据是（ ） A. SSS B. ASA C. AAS D. 角平分线上的点到角两边的距离相等 A B M N C O A 解析：过点 D 作 DF⊥AC 于 F， 因为AD 是 △ABC 的角平分线，DE⊥AB. 所以DF ＝ DE ＝ 2. 解得 AC＝3. 2. 如图，AD 是 △ABC 的角平分线，DE⊥AB，垂足为 E，S△ABC ＝ 7，DE ＝ 2，AB ＝ 4，则 AC 的长是( ) A．6 B．5 C．4 D．3 D B C E A D F 方法总结：利用角平分线的性质作辅助线构造三角形的高，再利用三角形面积公式求出线段长度是常用的方法． 3. 如图，AM 是∠BAC 的平分线，点 P 在 AM 上，PD⊥AB，PE⊥AC，垂足分别是 D，E，PD = 4 cm，则 PE = _____cm. B A C P M D E 4 4. 如图，DE⊥AB，DF⊥BG，垂足分别是 E，F，DE = DF，∠EDB = 60°，则 ∠EBF = °，BE = . 60 BF E B D F A C G 证明：因为CD 是∠ACG 的平分线， DE⊥AC，DF⊥CG， 所以DE ＝ DF. 在 Rt△CDE 和 Rt△CDF 中， 所以Rt△CDE?Rt△CDF（斜边、直角边）， 所以CE ＝ CF. ? 5. 如图所示，D 是∠ACG的平分线上的一点，DE⊥AC，DF⊥CG，垂足分别为 E，F. 求证：CE ＝ CF. 6. 如图，要在 S 区建一个贸易市场，使它到铁路和公路的距离相等，并且离公路与铁路交叉处距离为 500 米，这个集贸市场应建在何处（比例尺为 1︰20000）？ D C S 解：作夹角的角平分线 OC， 截取 OD = 2.5 cm ，D ... ...
