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课件网) 3.7切线长定理 北师大版.九年级数学下册 1.理解切线长的概念，掌握切线长定理． 2.学会运用切线长定理解有关问题． 3．通过对例题的分析，培养学生分析总结问题的习惯，提高学生综合运用知识解题的能力，培养数形结合的思想． 如图，借助三角板，我们可以画出PA是⊙O的切线. 1、圆的切线的性质定理 2、过圆外一点作圆的切线，可以作几条？ 3、过⊙O外一点P如何画出⊙O的切线？ 圆的切线垂直于过切点的半径 O A B P 2、如何用圆规和直尺作出这两条切线呢？ . 思考：已画出切线PA,PB，A,B为切点，则∠OAP=90°, 连接OP，可知A,B 除了在⊙O上，还在怎样的圆上 O · P A B O · O P A B 经过圆外一点作圆的切线，这点和切点之间的线段的长叫做切线长． ①切线是直线，不能度量. ②切线长是线段的长，这条线段的两个端点分别是圆外一点和切点，是可以度量． 切线长与切线的区别： 切线长的概念 切线长PA、PB有何关系？ ∠APO和∠BPO有何关系？ B P O A 问题1 如图，从圆外一点P引圆的两条切线，切点分别为A、B，连结OP、OA、OB． 思考探究 PA=PB ∠OPA=∠OPB 已知：PA，PB与⊙O分别相切于A，B点 请证明你所发现的结论. A P O B 求证：PA=PB，∠OPA=∠OPB 证明：∵PA，PB与⊙O相切于点A，B ∴OA⊥PA，OB⊥PB.即∠OAP=∠OBP=90° ∵ OA=OB，OP=OP， ∴Rt△AOP≌Rt△BOP(HL) ∴ PA = PB， ∠OPA=∠OPB. B P O A 从圆外一点引圆的两条切线， 它们的切线长相等， 圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角. ∵ PA、PB分别切⊙O于A、B ∴PA = PB， ∠OPA=∠OPB 几何语言: 切线长定理为证明线段相等、角相等提供了新的方法. 切线长定理 问题2 PA，PB是⊙O的两条切线，A，B为切点，直线OP交⊙O于点D，E，交AB于点C. B A P O C E （1）写出图中所有的垂直关系 OA⊥PA，OB ⊥PB AB⊥OP （2）写出图中与∠OAC相等的角 ∠OAC=∠OBC=∠APC=∠BPC D 思考探究 （4）写出图中所有的等腰三角形 （3）写出图中所有的全等三角形 △AOP≌△BOP， △AOC≌△BOC， △ACP≌△BCP △ABP，△AOB . P B A O （3）连接圆心和圆外一点 （2）连接两切点 （1）分别连接圆心和切点 在解决有关圆的切线长问题时，往往需要我们构建基本图形. 切线长问题辅助线添加方法 例1 △ABC的内切圆⊙O与BC、CA、AB分别相切于点D、E、 F，且AB=9，BC=14，CA=13，求AF、BD、CE的长. 解: 设AF=x，则AE=x. ∴CE=CD=AC-AE=13-x， BF=BD=AB-AF=9-x. 由 BD+CD=BC，可得 (13-x)+(9-x)=14， 解得 x=4. ∴ AF=4，BD=5，CE=9. A C B E D F O 例2如图，四边形ABCD的边AB，BC，CD，DA和⊙O分别相切于点L，M，N，P， 求证：AD+BC=AB+CD. 证明：由切线长定理得 AL=AP，LB=MB，NC=MC，DN=DP, ∴AP+MB+MC+DP=AL+LB+NC+DN, 即AD+BC=AB+CD， D L M N A B C O P 圆外切四边形的性质：圆的外切四边形的两组对边之和相等． 圆内接四边形的性质：圆内接四边形的对角互补． 1.如图，PA、PB是⊙O的两条切线，切点分别是A、B， 如果AP=4，∠APB= 40°，则∠APO= ，PB= . 20° 4 B P O A 2．（珠海·中考）如图，PA,PB是⊙ O的切线， 切点分别是A,B，如果∠P＝60°,那么∠AOB等 于（ ） A.60° B.90° C.120° D.150° C 3. PA、PB是⊙O的两条切线，切点为A、B，∠P= 50°， 点C是⊙O上异于A、B的点，则∠ACB= . 65°或115° B P O A 4.已知：如图,PA,PB是⊙O的切线，切点分别是A,B，Q为⊙O上一点，过Q点作⊙O的切线，交PA,PB于E,F点，已知PA=12cm，求△PEF的周长. 【解析】易证EQ=EA, FQ=FB,PA=PB. ∴ PE+EQ=PA=12cm, PF+FQ=PB=PA=12cm. ∴周长为24cm. F 课堂小结 1.△ABC的内切圆半径为r， △ABC的周长为c， 求△ABC的面积S. A C B E D F ... ...
