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课件网) 苏科版·九年级上册 1.2.3 一元二次方程的 解法———公式法 第一章 一元二次方程 章节导读 学 习 目 标 1 2 熟记求根公式，掌握用公式法解一元二次方程的一般步骤 根据根的判别式判断一元二次方程的根的情况 新知探究 思 考 1. 解方程：ax2 + bx + c = 0 ( a ≠ 0 )。 解：∵a ≠ 0， ∴方程两边可同时除以a， x2 + x + = 0， x2 + x = ， x2 + 2·x· + = + ， = ， ∵a ≠ 0， ∴4a2 > 0， 接下来，我们要对的正负性进行判断 的正负取决于b2 - 4ac的正负 新知探究 思 考 ② 若b2 - 4ac < 0，则方程无实数根。 ① 若b2 - 4ac ≥ 0，则x + = ± = ± = ±， x = ，∴x1 = ，x2 = ； 前面有“±”，可直接去掉a的绝对值符号 1. 解方程：ax2 + bx + c = 0 ( a ≠ 0 )。 新知探究 思 考 2. 通过上面的解方程，你发现了什么？ 解：一元二次方程ax2 + bx + c = 0 ( a ≠ 0 )的根是由a、b、c确定的， 若b2 - 4ac ≥ 0，则x = ； 若b2 -4ac < 0，则方程无实数根。 新知探究 求根公式： x = ( b2 - 4ac ≥ 0 )， 叫做一元二次方程ax2 + bx + c = 0 ( a ≠ 0 )的求根公式。 公式法的定义： 解一元二次方程时，把各项系数的值直接代入求根公式， 若b2 - 4ac ≥ 0，就可以求得方程的根， 这种解一元二次方程的方法叫做公式法。 知识要点 典例分析 典例1 解方程：x2 + 3x + 1 = 0。 解：① 确定a、b、c的值：a = 1，b = 3，c = 1， ② 求出b2 - 4ac的值： b2 - 4ac = 32 - 4 × 1 × 1 = 5 > 0， ③ 套公式：x = = ， ∴x1 = ，x2 = 。 方法技巧 解题关键： 严格按照步骤计算。 典例分析 典例2 解方程：3x2 = 4x - 1。 解：① 把方程化成一般形式：3x2 - 4x + 1 = 0， ② 确定a、b、c的值：a = 3，b = -4，c = 1， ③ 求出b2 - 4ac的值：b2 - 4ac = ( - 4 )2 - 4 × 3 × 1 = 4 > 0， ④ 套公式：x = = = ，∴x1 = 1，x2 = 。 注意： 不是一般形式，不可以直接确定a、b、c的值 新知探究 用公式法解一元二次方程的一般步骤： ① 把方程化成一般形式 ( 建议二次项系数为正，且方程中无分数 )； ② 确定a、b、c的值 ( 注意符号 )； ③ 求出b2 - 4ac的值； ④ 若b2 - 4ac ≥ 0，则把a、b、c的值代入求根公式； 若b2 - 4ac < 0，则方程无实数根。 求根公式的前提条件：① a ≠ 0；② b2 - 4ac ≥ 0。 知识要点 典例分析 典例3 解方程：-x2 + 2x - 5 = 0。 解：①方程两边同时乘以-1：x2 - 2x + 5 = 0， ② 确定a、b、c的值：a = 1，b = -2，c = 5， ③ 求出b2 - 4ac的值：b2 - 4ac = ( -2 )2 - 4 × 1 × 5 = 0， ④ 套公式：x = = ，∴x1 = x2 = 。 二次项系数不为正，可先化为正 ：方程两边同时乘以-1 典例分析 典例4 解方程：x2 + 3x + 5 = 0。 方程中含有分数，可先去分母 ：方程两边同时乘以2 解：① 方程两边同时乘以2：x2 + 6x + 10 = 0， ② 确定a、b、c的值：a = 1，b = 6，c = 10， ③ 求出b2 - 4ac的值：b2 - 4ac = 62 - 4 × 1 × 10 = -4 < 0， ∴方程无实数根。 新知探究 探究活动 通过下列表格，对一元二次方程ax2 + bx + c = 0 ( a ≠ 0 )的根的情况进行总结。 方程 b2 - 4ac 方程的根 x2 + 3x + 1 = 0 > 0 x1 = ，x2 = 3x2 = 4x - 1 > 0 x1 = 1，x2 = -x2 + 2x - 5 = 0 = 0 x1 = x2 = x2 + 3x + 5 = 0 < 0 无实数根 两个不相等 的实数根 两个相等 的实数根 无实数根 新知探究 根的判别式： 我们把Δ = b2 - 4ac叫做一元二次方程ax2 + bx + c = 0 ( a ≠ 0 )的根的判别式。 一元二次方程ax2 + bx + c = 0 ( a ≠ 0 )的根的情况： ① 当Δ > 0时，方程有两个不相等的实数根； ② 当Δ = 0时，方程有两个相等的实数根； ③ 当Δ < 0时，方程无实数根。 知识要 ... ...
