湘教版高中数学选择性必修第一册第2章平面解析几何初步2.5.2圆的一般方程课件(共54张PPT)+学案

2.5.2　圆的一般方程 学习目标 1.回顾确定圆的几何要素，在平面直角坐标系中，探索并掌握圆的一般方程及其特点，培养数学抽象的核心素养. 2.会将圆的一般方程化为圆的标准方程，并能熟练地指出圆心的坐标和半径的大小，提升数学运算的核心素养. 3.能根据某些具体条件求圆的一般方程，会求与圆有关的简单的轨迹方程问题，提升数学运算、逻辑推理的核心素养. 任务一　圆的一般方程 问题1.如果方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0能表示圆的方程，有什么条件？ 提示：将方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，配方可得＋＝，当D2＋E2－4F＞0时，方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0表示圆. 问题2.当D2＋E2－4F＝0时，方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0表示什么图形？ 提示：当D2＋E2－4F＝0时，方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，表示一个点. 1.圆的一般方程 方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F＞0)叫作圆的一般方程. 2.方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0表示的图形 条件 图形 D2＋E2－4F＜0 不表示任何图形 D2＋E2－4F＝0 表示一个点 D2＋E2－4F＞0 表示以为圆心，以为半径的圆 判断下列方程是否表示圆，若表示圆，写出圆心坐标和半径. (1)2x2＋y2－7y＋5＝0； (2)x2－xy＋y2＋6x＋7y＝0； (3)x2＋y2＋x＋2＝0； (4)x2＋y2－x＝0； (5)x2＋y2＋2ax＋a2＝0(a≠0). 解：(1)2x2＋y2－7y＋5＝0中x2与y2的系数不相同，故原方程不能表示圆； (2)x2－xy＋y2＋6x＋7y＝0中含有xy项，故原方程不能表示圆； (3)因为D2＋E2－4F＝1－8＝－7＜0，所以原方程不能表示圆； (4)法一：因为D2＋E2－4F＝(－1)2＝1＞0，所以方程能表示圆，圆心坐标为，即，半径r＝＝. 法二：方程x2＋y2－x＝0可化为＋y2＝，它表示以为圆心，为半径的圆. (5)因为D＝2a，E＝0，F＝a2，所以D2＋E2－4F＝4a2－4a2＝0，所以方程不能表示圆. 方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0表示 圆的2种判断方法 1.配方法：对形如x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0的二元二次方程可以通过配方变形成标准形式后，观察是否表示圆. 2.运用圆的一般方程的判断方法求解，即通过判断D2＋E2－4F的符号是否为正，确定它是否表示圆. 对点练1.若方程a2x2＋(a＋2)y2＋2ax＋a＝0表示圆，则a的值为(　　) A.1或－2 B.2或－1 C.－1 D.2 答案：C 解析：方程a2x2＋(a＋2)y2＋2ax＋a＝0中二次项系数不一定为1，因此若它表示圆，需要二次项的系数相等且不等于0，转化为一般式后满足D2＋E2＋4F＞0.则解得a＝－1. 任务二　求圆的一般方程 (1)△ABC的三个顶点坐标分别为A(－1，5)，B(－2，－2)，C(5，5)，求其外接圆的方程； (2)圆C过点P(1，2)和点Q(－2，3)，且圆C在两坐标轴上截得的弦长相等，求圆C的方程. 解：(1)法一：设所求的圆的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0， 由题意得 故所求的圆的方程为x2＋y2－4x－2y－20＝0. 法二：由题意可求得线段AC的垂直平分线的方程为x＝2，线段BC的垂直平分线方程为x＋y－3＝0. 所以圆心是两垂直平分线的交点(2，1)，半径r＝＝5，所以所求的圆的方程为(x－2)2＋(y－1)2＝25，即x2＋y2－4x－2y－20＝0. (2)设所求的圆的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0. 因为圆C过点P(1，2)和点Q(－2，3)， 所以 所以圆C的方程为x2＋y2＋Dx＋(3D－8)y＋11－7D＝0，将y＝0代入得x2＋Dx＋11－7D＝0. 所以圆C在x轴上截得的弦长为｜x1－x2｜＝ . 将x＝0代入得y2＋(3D－8)y＋11－7D＝0，所以圆C在y轴上截得的弦长为｜y1－y2｜＝. 由题意有＝，即D2－4(11－7D)＝(3D－8)2－4(11－7D)，解得D＝4或D＝2. 故所求的圆的方程为x2＋y2＋4x＋4y－17＝0或x2＋y2＋2x－2y－3＝0. 待定系数法求圆的一般方程的步骤 1.根据题意设所求的圆的一般方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0. 2.根据已知条件，建立关于D，E，F的方程组. 3.解此方程组，求出D，E，F的值. 4.将所得的值代回所设的圆的方程中，就得 ... ...