中小学教育资源及组卷应用平台 1.1 空间向量及其运算 知识点一 空间向量的概念辨析 【例1-1】下列说法正确的是（ ） A．若，则 B．若，互为相反向量，则 C．空间中两平行向量相等 D．在四边形ABCD中， 【答案】D 【解析】对于A，向量不可以比较大小，所以A错误； 对于B, 若，互为相反向量，则，故B错误； 对于C，两向量相等需要向量的方向相同，且长度相同，故C错误； 对于D，四边形ABCD中，，故D正确. 故选：D 【例1-2】如图，在长方体中，，，，以长方体的八个顶点中的两点为起点和终点的向量中． (1)单位向量共有多少个？ (2)试写出与相等的所有向量． (3)试写出的相反向量． 【答案】(1) (2) (3) 【解析】（1）由题意，单位向量有共个； （2）由题意，与相等有； （3）由题意，的相反向量有. 【变式】 1．（多选）下列命题为真命题的是（ ） A．若空间向量满足，则 B．在正方体中，必有 C．若空间向量满足，，则 D．任一向量与它的相反向量不相等 【答案】BC 【解析】A为假命题，根据向量相等的定义知，两向量相等，不仅模要相等，而且还要方向相同， 而A中向量的方向不一定相同； B为真命题，与的方向相同，模也相等，故； C为真命题，由于空间向量满足，，且向量的相等满足传递性， 故； D为假命题，零向量的相反向量仍是零向量. 故选：BC 2．（多选）下列关于空间向量的命题中，不正确的是（ ） A．长度相等、方向相同的两个向量是相等向量 B．平行且模相等的两个向量是相等向量 C．若，则 D．两个向量相等，则它们的起点与终点相同 【答案】BCD 【解析】对于选项A：由相等向量的定义知A正确； 对于选项B：平行且模相等的两个向量也可能是相反向量，B错； 对于选项C：若两个向量不相等，但模长仍可能相等，例如不共线的单位向量，C错； 对于选项D：相等向量只要求长度相等、方向相同，而表示两个向量的有向线段的起点不要求相同，D错， 故选：BCD． 3．如图，在正方体中： (1)向量，，与向量相等吗？ (2)向量，，与向量是相反向量吗？ 【答案】(1)相等 (2)是 【解析】（1）由于，，均与的方向相同、长度相等，因而它们均与相等． （2）由于，，的长度均与的长度相等，但方向相反，因而它们均是的相反向量． 知识点二 空间向量的线性运算 【例2-1】已知平行六面体，化简下列向量表达式，并在图中标出化简得到的向量： (1)； (2)； (3). 【答案】(1)，图见解析 (2)，图见解析 (3)，图见解析 【解析】（1）， 向量如图所示， （2）； 向量如图所示， （3）， 设是线段的中点， 则. 向量如图所示， 【变式】 1．在三棱柱中，是的中点，，则（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】因为，所以， 所以 . 故选：C 2．已知四面体中，为中点，若，则（ ） A．3 B．2 C． D． 【答案】D 【解析】根据题意，利用空间向量的运算法则，可得：， 因为，所以，解得. 故选：D. 3．已知平行六面体，化简下列向量表达式，并在图中标出化简得到的向量： (1)； (2)； (3). 【答案】(1)；作图见解析 (2)；作图见解析 (3)；作图见解析 【解析】（1）； （2）； （3）， 设是线段的中点， 则. 向量如图所示， 知识点三 共线向量 【例3-1】已知、、为空间三个不共面的向量，向量，，若与共线，则（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】因为、、为空间三个不共面的向量，向量，， 若与共线，设，即， 可得，解得，故. 故选：D. 【例3-2】如图所示，在正方体中，点在上，且，点在体对角线上，且．求证：，，三点共线． 【答案】证明见解析 【解析】连接，，∵， ，∴，∴， 又，∴，，三点共线． 【变式】 1．已知，，不共面，若，，且三点共线，则（ ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【解析】因为三点共线，所以， 即，故，解得， 所以. ... ...
~~ 您好，已阅读到文档的结尾了 ~~
