(课件网) 综合实践 最短路径问题 1. 掌握直线同侧两点到线上一点的距离和最小问题，了解运用平移法解决造桥问题，在解决实际问题的过程中强化应用意识. (重点、难点) 2. 通过轴对称变换、平移变换体会转化思想. 大唐边陲，烽火连绵。将军受命戍边，白日登山瞭望烽火，黄昏需至交河饮马，再返回宿营地。因战马长途奔袭体力有限，如何规划 “山脚下出发→交河饮马→宿营地” 路线，让总路程最短，成了将军与随行幕僚常琢磨的事儿，也成了军中探讨的趣味智题 。 ①两点的所有连线中，线段最短. 我们称这种问题为最短路径问题.今天我们将探究新情境下的最短路径问题. ②连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短. 我们以前学过： 活动探究一： 将军饮马问题 l 当点 C 在 l 的什么位置时，AC 与 CB 的和最小. 如何把这个问题抽象为数学问题？ C 问题1：如图，点 A，B 是直线 l 异侧的两个点，如何在 l 上找到一个点，使得这个点到点 A、点 B 的距离的和最小？依据是什么？ 连接 AB ，交直线 l 于点 C ，则 AC ＋BC 最小． 依据：两点之间，线段最短. 活动探究一： 将军饮马问题 问题2：如果 A，B 位于直线 l 的同侧时，如何使得这个点到点 A、点 B 的距离的和最小 . 如图，我们可作出点 B 关于 l 的对称点 B′，利用轴对称的性质，可以得到 B′C＝BC . 则 AC ＋ BC＝ AC＋B′C . 问题转化为： B′ 当点 C 在 l 的什么位置时，AC 与 B′C 的和最小？ 活动探究一： 将军饮马问题 问题3：根据上面的分析，当点 C 在 l 的什么位置时，AC 与 BC 的和最小？ C 在连接 A，B′ 两点的所有线段中，线段 AB′ 最短． 因此，线段 AB′ 与直线 l 的交点 C 的位置即为所求，即此时AC ＋ BC 最小． B′ 活动探究一： 将军饮马问题 作图过程： (1) 作点 B 关于直线 l 的对称点 B′； (2) 连接 AB′，与直线 l 相交于点 C．则点 C 即为所求． 活动探究一： 将军饮马问题 思考：你能用所学的知识证明：AC + BC 最短吗？ 证明：如图，在直线 l 上任取一点 C′ (与 点 C 不重合)，连接 AC′，BC′，B′C′. 由轴对称的性质知 BC = B′C，BC′ = B′C′． ∴ AC + BC = AC + B′C = AB′， AC′ + BC′ = AC′ + B′C′． 在△AB′C′ 中，AB′＜AC′ + B′C′， ∴ AC + BC＜AC′ + BC′，即 AC + BC 最短． 活动探究一： 将军饮马问题 同侧转化异侧 实际问题 数学问题 通过轴对称将同侧点转化为异侧 利用两点之间，线段最短，化折为直 活动探究一： 将军饮马问题 变式探究：如图 ，将军牵马从军营 P 处出发，到河流OA 饮马，再到草地 OB 吃草，最后回到 P 处，试分别在边 OA 和 OB 上各找一点 E 、F，使得走过的路程最短． 活动探究一： 将军饮马问题 C E D F 如图所示，分别作点 P 关于 OA ，OB 的对称点 C 、D ，连接 CD 分别交 OA ，OB 于 E、F，则路线 PE ，EF，PF 即为所求 . 活动探究一： 将军饮马问题 活动探究一： 将军饮马问题 拓展探究：如图，牧民从 A 地出发，先到草地边 m 某一处牧马，再到河边 n 饮马，最后回到 B 处. 牧民怎样走可使所走的路径最短？ 解：作点 A 关于直线 m 的对称点 A'， 作点 B 关于直线 n 的对称点 B'， 连接 A'B'， 分别交 m，n 于 P，Q 两点， 牧民沿折线 A→P→Q→B 可得走可使所走的路径最短。 A B A' B' P Q 情境探究：如图，A 和 B 两地在一条河的两岸，现要在河上造一座桥 MN. 桥造在何处可使从 A 到 B 的路径 AMNB 最短(假定河的两岸是平行的直线，桥要与河垂直)？ 活动探究二： 造桥选址问题 问题1：把上述问题抽象为数学问题，河的两岸是平行的直线，桥与河垂直．那么 AM ＋MN＋NB 最小能否进一步转化？ 当点 N 在直线 b 的什么位置 ... ...
