第八章8.3.2 圆柱、圆锥、圆台、球的表面积和体积 一、单选题 1.已知一圆柱的底面半径为2，体积为，若该圆柱的底面圆周都在球的表面上，则球的表面积为（ ） A. B. C. D. 2.一个正方体表面积与一个球表面积相等，那么它们的体积比是（ ） A. B. C. D. 3.一个由两个圆柱组合而成的密闭容器内装有部分液体，小圆柱底面半径为，大圆柱底面半径为，如图①放置容器时，液面以上空余部分的高为，如图②放置容器时，液面以上空余部分的高为，则等于（ ） A. B. C. D. 4.青铜大圆鼎（图1），厚立方耳、深鼓腹、圆底，三柱足略有蹄意，收藏于甘肃省博物馆。它的主体部分可以近似地看作是半球与圆柱的组合体（图2），忽略鼎壁厚度，已知半球的半径为米，圆柱的高近似于半球的半径，则此鼎的容积约为（ ） A. 立方米 B. 立方米 C. 立方米 D. 立方米 5.设正四棱锥的底面中心为，以为球心的球面与正四棱锥的所有棱均相切，若正四棱锥的体积为，则球的体积为（ ） A. B. C. D. 6.我国有着丰富悠久的“印章文化”，古时候的印章一般用贵重的金属或玉石制成，本是官员或私人签署文件时代表身份的信物，后因其独特的文化内涵，也被作为装饰物来使用。图1是明清时期的一个金属印章摆件，除去顶部的环可以看作是一个正四棱柱和一个正四棱锥组成的几何体；如图2，已知正四棱柱和正四棱锥的体积之比为，且该几何体的顶点均在体积为的球的表面上，则该几何体的表面积为（ ） A. B. C. D. 二、多选题 7.沙漏是古代的一种计时装置，它由两个形状完全相同的容器和一个狭窄的连接管道组成，开始时细沙全部在上部容器中，细沙通过连接管道全部流到下部容器所需要的时间称为该沙漏的一个沙时。如图，某沙漏由上下两个圆锥组成，圆锥的底面直径和高均为，细沙全部在上部时，其高度为圆锥高度的（细管长度忽略不计）。假设该沙漏每秒钟漏下的沙，且细沙全部漏入下部后，恰好堆成一个盖住沙漏底部的圆锥形沙堆。以下结论正确的是（ ） A. 沙漏中的细沙体积为 B. 沙漏的体积是 C. 细沙全部漏入下部后此锥形沙堆的高度约为 D. 该沙漏的一个沙时大约是秒 8.已知三棱柱的底面为直角三角形，侧棱长为，体积为，若此三棱柱的顶点均在同一球面上，则该球半径的长度可以为（ ） A. B. C. D. 9.如图，在棱长为的正方体中，为线段的中点，为线段上的动点（含端点），则下列结论正确的有（ ） A. 三棱锥的体积为 B. 直线与下底面所成角的正弦值为 C. 为线段的中点时，过，，三点的平面截正方体所得截面的周长为 D. 三棱锥的外接球体积的最大值为 三、填空题 10.如图所示，已知一个组合体上面是一个正四棱柱，下面是一个半球，正四棱柱的底面边长为，高为，半球的半径为，则该几何体的体积是_____，表面积是_____。 11.已知底面是正六边形的六棱锥的七个顶点均在球的表面上，底面正六边形的边长为。若该六棱锥体积的最大值为，则球的表面积为_____。 12.已知圆台的上下底面半径分别为，侧面积为，在圆台内部放置一个正四面体，使其可以任意转动，则该正四面体的体积的最大值为____。 四、解答题 13.如图，正四棱台是一块铁料，上、下底面的边长分别为和，，分别是上、下底面的中心，棱台高为。 (1) 求正四棱台的表面积； (2) 若将这块铁料最大限度地打磨为一个圆台，求圆台的体积。 14.在一个如图所示的直角梯形内挖去一个扇形，恰好是梯形的下底边的中点，将所得平面图形绕直线旋转一圈，求所得几何体的表面积和体积。 15.如图，在直径为的半圆内有一个直角三角形，其中，，将图中阴影部分，以所在直线为旋转轴旋转形成一个几何体，求该几何体的表面积及体积。 一、单选题 1.答案：B 解析：设圆柱的高为，底面半径为，由题意可得，解得。因为该圆柱的底面圆周都在球的表面 ... ...
