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课件网) 第四章 指数函数与对数函数 对数函数的概念 高中数学 · 必修一 知识回顾 对数的运算性质 （1）； （2）； （3）. 如果，且，，那么 知识回顾 对数换底公式 知识回顾 对数换底公式的推论 （1） （2） （3） （4） 学习目标 能从教材实例中抽象出对数函数的概念，认识与指数函数间的关系； 在对数函数概念形成过程中进一步体会函数的本质，感受知识间内在联系； 会求对数型函数的定义域，能利用对数函数解决简单的实际问题. 核心素养 数学抽象 对数函数的概念； 逻辑推理 对数函数与指数函数的关系； 数学运算 求对数函数的定义域. 课程导入 在4.2节中，我们用指数函数模型研究了呈指数增长或衰减变化规律的问题. 对这样的问题，在引入对数后，我们还可以从另外的角度，对其蕴含的规律作进一步的研究. Part 01 对数函数的概念 问题探究 首先回顾一下，4.2.1的问题2. 当生物死亡后，它机体内原有的碳14含量会按确定的比率衰减（称为衰减率），大约每经过5730年衰减为原来的一半，这个时间称为“半衰期”. 按照上述变化规律，生物体内碳14含量与死亡年数之间有怎样的关系？ 设生物死亡年数为，死亡生物体内碳14含量为， 4.2.1 问题2 在此问题中，生物体内的碳14含量是随时间呈连续的指数衰减变化. 问题探究 如果已知死亡生物体内碳14的含量，如何得知它死亡了多长时间？ 问题1 生物死亡年数 死亡生物体内碳14含量 根据指数与对数的关系： 问题探究 问题2 死亡时间是碳14的含量的函数吗？ 问题探究 如图，过轴正半轴上任意一点作轴的平行线，与的图象有且只有一个交点. 这就说明，对于任意一个，通过对应关系 ，在上都有唯一确定的数和它对应，所以 也是 的函数. 函数 刻画了时间随碳14含量的衰减而变化的规律. 问题探究 问题3 指数函数也能表示成是的函数吗？ 根据指数与对数的关系： 结合指数函数的图像可知，对于任意一个，通过对应关系，都有唯一确定的数和它对应，所以也是 的函数. 问题探究 自变量： 函数： 通常情况下，我们用表示自变量，表示函数. 在不影响函数本质的情况下，通常用表示自变量，为此，将上式中的字母和进行对调. 对数函数的概念 一般地，函数叫做对数函数. 其中是自变量，定义域是. 对数函数的概念 问题4 为什么在对数函数中规定底数？ 根据对数式与指数式的关系知， 根据指数函数中底数的范围，可知. 对数函数的概念 因为对数函数是由指数函数变化而来的，对数函数的自变量恰好是指数函数的函数值，所以对数函数的定义域是. 问题5 对数函数的定义域为什么是？ 对数函数的概念 对数函数的结构特征： 真数仅为自变量 底数为常数 系数为1 （多选题）下列函数中为对数函数的是（ ） A. B. C. D. 是常数) 跟踪训练 对于A，真数是，故A不是对数函数； 对于B， 真数是，故B不是对数函数； 对于C，的系数为1，真数是，故C是对数函数； 对于D，底数，真数是，故D是对数函数； 【解析】 CD 例题解析 例1 求下列函数的定义域： （1）； （2） . 解： （1）因为，即，所以函数的定义域是 （2）因为，即，所以函数的定义域是 例题解析 例2 假设某地初始物价为1，每年以5%的增长率递增，经过年后的物价为. （1）该地的物价经过几年后会翻一番？ （2）填写下表，并根据表中的数据，说明该地物价的变化规律. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 0 例题解析 解： （1） 由题意可知，经过年后的物价为 即 由对数与指数间的关系，可得 由计算工具可得，当时，. 所以，该地区的物价大约经过14年后会翻一番. 例题解析 （2） 根据函数，利用计算工具，可得下表： 由表中的数据可以发现，该地区的物价随时间的增长而增长，但大约每增加1所需要的年数在逐渐缩小. 1 2 3 4 5 ... ...
